斯特林数和分拆数

上升幂与下降幂

上升幂： $x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)$
下降幂： $x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)$

第一类斯特林数(无符号)

定义：第一类斯特林数（斯特林轮换数） $n\brack k$ ，也可记做 $s(n,k)$ ，表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空轮换的方案数。一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。我们可以写出一个轮换 $[A,B,C,D]$ ，并且我们认为 $[A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C]$ ，即，两个可以通过旋转而互相得到的轮换是等价的。注意，我们不认为两个可以通过翻转而相互得到的轮换等价，即 $[A,B,C,D]\neq [D,C,B,A]$ 。(另一种理解：将 $n$ 个元素，划分为 $k$ 个圆排列的方案数)
递推式： ${n\brack k}={n-1\brack k-1}+(n-1){n-1 \brack k}$ 。边界 ${n\brack 0}=[n=0]$

组合意义：将该新元素置于一个单独的轮换中，共有 ${n-1\brack k-1}$ 中方案；将该元素插入到任何一个现有的轮换中，共有 $(n-1){n-1 \brack k}$ 种方案。
性质

$\sum_{k=0}^n{n\brack k}=n!$

${n\brack n-1}=\binom{n}{2}$

${n\brack 2}=(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}$

${n\brack 1}=(n-1)!$

生成函数(同行) 上升幂： $F_n(x)=x^{\overline{n}}=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\prod_{i=0}^n{n\brack i}x^i$
$O(nlogn)$

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    //freopen("gen.in","r",stdin);
    Poly::init(19);
    auto CDQ=[&](auto self,int l,int r)->Poly::poly{
        if(l==r) return Poly::poly({l,1});
        int mid=l+r>>1;
        return Poly::poly_mul(self(self,l,mid),self(self,mid+1,r));
    };
    int n;
    cin>>n;
    Poly::poly F=CDQ(CDQ,0,n-1);
    for(int i=0;i<=n;i++) cout<<F[i]<<" ";
    return 0;
}

生成函数(同列)： $F(x)=\sum_{i=1}^n\frac{(i-1)!x^i}{i!}=\sum_{i=1}^n\frac{x^i}{i}=\sum_{i=1}^n{i \brack k}x^i$

第二类斯特林数(无符号)

定义：第二类斯特林数（斯特林子集数） $n \brace k$ ，也可记做 $S(n,k)$ ，表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空子集的方案数
递推式： ${n\brace k}={n-1\brace k-1}+k{n-1\brace k}$

组合意义：插入一个新元素时，可以将这个元素单独放入一个子集，也可以将这个元素放入现有的一个非空子集
通项公式： ${n\brace m}=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}$
性质

$\sum_{k=0}^n{n\brace k}=B_n$ ， $B_n$ 为贝尔数

$n^k=\sum_{i=1}^k{k\brace i}\times i!\times \binom{n}{i}=\sum_{i=1}^k{k\brace i}\times n^{\underline{i}}$ ，这个可以用来求自然数数幂和： $\sum_{i=1}^n i^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k{k\brace j}\times j!\times \binom{i}{j}=\sum_{j=0}^k{k\brace j}\times j!\sum_{i=1}^n\binom{i}{j}=\sum_{j=0}^k{k\brace j}\times j!\times \binom{n+1}{j+1}=\sum_{j=0}^k{k\brace j}\frac{(n+1)^{\underline{j+1}}}{(j+1)!}$
同一行第二类斯特林数通项公式计算 $O(nlogn)$

int main() {
    scanf("%d", &n);
    poly f(n + 1), g(n + 1);
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        g[i] = (i & 1 ? mod - 1ll : 1ll) * infac[i] % mod,
        f[i] = 1ll * qpow(i, n) * infac[i] % mod;
    poly F=poly_mul(f,g);
    F.resize(n + 1);
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        printf("%d ", F[i]);
    return 0;
}

分拆数

定义：将正整数 $n$ 进行整数拆分的方案数

求法：

完全背包，把数字 $1-n$ 看做价值为 $1$ ，容量为 $i$ 的物品，进行完全背包

五边形定理

#include <stdio.h>

long long a[100010];
long long p[50005];

int main() {
p[0] = 1;
p[1] = 1;
p[2] = 2;
int i;
for (i = 1; i < 50005;i++) /*递推式系数1,2,5,7,12,15,22,26...i*(3*i-1)/2,i*(3*i+1)/2*/
{
    a[2 * i] = i * (i * 3 - 1) / 2; /*五边形数为1,5,12,22...i*(3*i-1)/2*/
    a[2 * i + 1] = i * (i * 3 + 1) / 2;
}
for (  i = 3; i < 50005; i++) /*p[n]=p[n-1]+p[n-2]-p[n-5]-p[n-7]+p[12]+p[15]-...+p[n-i*[3i-1]/2]+p[n-i*[3i+1]/2]*/
{
    p[i] = 0;
    int j;
    for (j = 2; a[j] <= i; j++) /*有可能为负数,式中加1000007*/
    {
    if (j & 2) {
        p[i] = (p[i] + p[i - a[j]] + 1000007) % 1000007;
    } else {
        p[i] = (p[i] - p[i - a[j]] + 1000007) % 1000007;
    }
    }
}
int n;
while (~scanf("%d", &n)) {
    printf("%lld\n", p[n]);
}
}