RMQ求最值

1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

 

2.RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

 

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

代码如下:

void rmq_isit(bool ok)  
{  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        mm[i][0]=mi[i][0]=a[i];  
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)  
    {  
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)  
        {  
            if(ok)  
                mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);  
            else  
                mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);  
        }  
  
    }  
} 

 

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比如这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

int rmq(int l,int r)  
{  
    int k=0;  
    while((1<<(k+1))<=r-l+1)  
        k++;  
    //printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));  
    int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);  
    int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);  
    return ans1-ans2;  
} 

板子:poj 3264

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 80000;
const int maxm = 30;
int d_min[maxn][maxm],d_max[maxn][maxm],a[maxn];
int n;

void RMQ_init()
{
    int i,j;
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        d_min[i][0] = a[i];
        d_max[i][0] = a[i];
    }
    for(j = 1; (1<<j) <= n; j++)
    for(i = 1; i + j - 1 <= n; i++)
    {
        d_min[i][j] = min(d_min[i][j-1],d_min[i + (1<<(j-1))][j-1]);
        d_max[i][j] = max(d_max[i][j-1],d_max[i + (1<<(j-1))][j-1]);
    }
}

int RMQ_min(int l,int r)
{
    int k = 0;
    while((1<<(k+1)) <= r-l+1)
    k++;
    return min(d_min[l][k], d_min[r-(1<<k)+1][k]);
}
int RMQ_max(int l,int r)
{
    int k = 0;
    while((1<<(k+1)) <= r-l+1)
    k++;
    return max(d_max[l][k], d_max[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    int q,l,r,i;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(i = 1; i <= n; i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    RMQ_init();

    while(q--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",RMQ_max(l,r)-RMQ_min(l,r));
    }
    return 0;
}