CF/其它 计数乱做

CF1515E Phoenix and Computers (2200)

最后一定是若干段全都手动打开的电脑，每一段中间有一台自动开启的电脑。

将 一台自动开启-一段手动开启 视作一整段，则长度为 \(l\) 的一段方案数是 \(2^{n-2}\)（先随意开启一台电脑，之后只能选择向左或向右拓展）。

写成生成函数后二项式展开即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)。（式子不见了）

CF1621G Weighted Increasing Subsequences (3200)

考虑对每一个元素 \(a_i\) 计算贡献。

设 \(x\) 为最后一个大于 \(a_i\) 的 \(a\) 下标，则符合条件的上升序列可以分为两段：\([1,i]\) 中以 \(i\) 为结尾的上升子序列 及 \([i,x)\) 中以 \(i\) 为开头的上升子序列。

前者很好算，后者则是 \([i,n]\) 中以 \(i\) 为开头的上升子序列个数 减去 \([i,x]\) 中以 \(i\) 为开头，\(x\) 为结尾的上升子序列个数。

考虑枚举每一个 \(x\)。符合条件的 \(x\) 一定满足其等于后缀 \(\max\)。那么对应的 \(i\) 一定在这个 \(x\) 到下一个 \(x\) 之间，直接抽取出来做即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

P6944/LOJ3405 [ICPC2018 WF]Gem Island

洛谷这么有实力的吗

考虑最后每个人拿（增加）的绿宝石数量 \(a_i\)，其概率为：

\[\dbinom{d}{a_1,a_2,\cdots,a_n}\dfrac{a_1!a_2!\cdots a_n!}{n(n+1)\cdots(d+n-1)}=\dfrac{1}{\dbinom{d+n-1}{n-1}} \]

所以只需要对 \(\{a\}\) 统计即可。

考虑一个不知道怎么想到的套路的 DP。设 \(f_{i,j}\) 表示将 \(i\) 有序拆分成 \(j\) 个非负整数的方案数，\(g_{i,j}\) 表示将 \(i\) 有序拆分成 \(j\) 个非负整数的前 \(r\) 大和。

枚举有 \(k\) 个数为正整数，并将它们减去 \(1\)。于是有：

\[f_{i,j}=\sum\limits_k \dbinom{j}{k} f_{i-k,k}=\dbinom{i+j-1}{i-1} \]

\[g_{i,j}=\sum\limits_k \dbinom{j}{k}(g_{i-k,k}+\min\{r,k\}f_{i-k,k}) \]

时间复杂度 \(O(nd^2)\)。

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我们发现根本就不想这么 DP，这种问题应该考虑容斥。

设 \(f_{i,j}\) 表示恰好有 \(i\) 个数大于等于 \(j\)，则答案即为 \(\sum\limits_{i,j} \min\{i,r\} f_{i,j}\)。

设 \(g_{i,j}\) 表示钦定有 \(i\) 个数大于等于 \(j\)，则 \(g_{i,j}=\dbinom{n}{i}\dbinom{d-ij+n-1}{n-1}\)。

\[g_{k,j}=\sum\limits_{i \geq k} \dbinom{i}{k} f_{i,j} \]

\[f_{k,j}=\sum\limits_{i \geq k} (-1)^{i-k} \dbinom{i}{k} g_{i,j}=\sum\limits_{i \geq k} (-1)^{i-k} \dbinom{i}{k} \dbinom{n}{i}\dbinom{d-ij+n-1}{n-1} \]

这里有 \(jk \leq d\)，\(ij \leq d\)，可以枚举 \(j\) 并 \(O(\sum\limits_{i} \dfrac{d^2}{i^2})=O(d^2)\) 计算。

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我不满意！还可以进行一些优化。

\[ANS=\sum\limits_k \min\{k,r\} \sum\limits_{i} (-1)^{i-k} \dbinom{i}{k} \dbinom{n}{i} \sum\limits_j \dbinom{d+n-ij-1}{n-1} \]

改为枚举 \(i\)：

\[ANS=\sum\limits_{i} \dbinom{n}{i} \Big[\sum\limits_j \dbinom{d+n-ij-1}{n-1}\Big] \Big[\sum\limits_k (-1)^{i-k} \min\{k,r\} \dbinom{i}{k}\Big] \]

后面两部分分开预处理。

前面部分可以用狄利克雷后缀差分，时间复杂度 \(O(n \log\log n)\)。

后面部分：

\[\sum\limits_{k=1}^d \min\{k,r\} (-1)^k \dbinom{i}{k}=\sum\limits_{k=1}^{\min\{d,r\}} k (-1)^k \dbinom{i}{k}+r\sum\limits_{k=r+1}^d (-1)^k \dbinom{i}{k} \]

设 \(t=\min\{d,r\}\)，实际上是要算：

\[f_i=\sum\limits_{k=1}^t (-1)^k \dbinom{i}{k}=(-1)^t \dbinom{i-1}{t}-1 \]

\[g_i=\sum\limits_{k=1}^t k(-1)^k \dbinom{i}{k}=-i\Big[f_{i-1}+1-(-1)^t \dbinom{i-1}{t}\Big] \]

\[h_i=\sum\limits_{k=1}^d (-1)^k \dbinom{i}{k} \]

可以和答案一起算，时间复杂度 \(O(n)\)。

总时间复杂度 \(O(n \log \log n)\)。

CF1630E Expected Components (2900)

最大的问题是如何去重，直接用带权 Burnside 引理：

\[\sum\limits_x \dfrac{w_x}{|\overline x|}=\dfrac{1}{|G|} \sum\limits_g w_(X_g) \]

设有 \(d\) 循环节的权值之和为 \(f_d\)，则答案为 \(\dfrac{1}{n} \sum\limits_{d} f_d \varphi(\dfrac{n}{d})\)。

以 \(f_n\) 为例，由于要算的是和之和，对每种颜色分开计算。具体而言，将该颜色看作 \(1\)，其它颜色看作 \(0\)，最后再乘上其它颜色可重排即可。

枚举 \(1\) 恰有 \(t\) 段，但若直接插板怎样不重不漏仍然是个问题。

用常见套路，枚举旋转最小角度。注意 \(0\) 位置不一定是 \(1\)，还要算 \(0\) 位置是 \(0\) 的情况。最后范德蒙德卷积即可做到 \(O(1)\)。

设共有 \(q\) 种颜色，则枚举的 \(d\) 数量不超过 \(\gcd\{b_i\} \leq \min\{b_i\} \leq \lfloor \dfrac{n}{q} \rfloor\)，总时间复杂度是 \(O(n)\)。

XXI OpenCup Grand Prix of SPb J Justice For Everyone

先考虑没有两个人不能相等的限制怎么做。

设 \(d_i=b_i-a_i\)，\(s=\dfrac{\sum d_i}{2}\)。

设 \(n\) 元生成函数 \(F=\sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} x_ix_j=\dfrac{1}{2}[(\sum x_i)^2-(\sum x_i^2)]\)，则答案为 \([\prod x_i^{d_i}] F^s\)。

大力展开：

\[\begin{aligned} Ans &=[\prod x_i^{d_i}] F^s\\ &=\dfrac{1}{2^s} [\prod x_i^{d_i}] [(\sum x_i)^2-(\sum x_i^2)]^s\\ &=\dfrac{1}{2^s} [\prod x_i^{d_i}] \sum\limits_{j=0}^s \dbinom{s}{j} (-1)^j (\sum x_i^2)^j (\sum x_i)^{2s-2j}\\ &=\dfrac{1}{2^s} \sum\limits_{\{e_i\}} \dbinom{s}{\sum e_i} (-1)^{\sum e_i} \dbinom{\sum e_i}{e_1,e_2,\cdots,e_n} \dbinom{\sum d_i-2\sum e_i}{d_1-2e_1,d_2-2e_2,\cdots,d_n-2e_n}\\ \end{aligned} \]

枚举 \(\{e_i\}\) 显然不现实，还是用生成函数做。对 \(d\) 设 \(G_d=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor d/2 \rfloor} \dfrac{1}{i! (d-2i)!}\)，则答案为：

\[Ans=\dfrac{1}{2^s} \sum\limits_{t=0}^s \dbinom{s}{t} (-1)^{t} t! (2s-2t)! \]

回到原问题，该限制十分类似 LGV 引理的使用条件。将 \(G_{b_j-a_i}\) 填入矩阵，计算行列式即可得到答案。

多项式项数为 \(O(V^2)=20000\) 较大，可以代值算行列式再多项式快速插值，总时间复杂度 \(O(n^3V^2+V^2 \log^2 V)\)。

PTZ Camp2022 C3 Inversions

对每个 \(t\) 暴力统计逆序对为 \(t\) 的排列数量。设 \(F_t(x)=\sum\limits_{i=0}^{t-1} x^i\)，\(G(x)=\prod\limits_{t=1}^n F_t(x)\)，答案即为 \(\sum\limits_{x=0}^{n(n-1)/2} i^k g_i\)。

需要做 \(n\) 次值域为 \(n^2\) 和 \(n\) 的卷积，时间复杂度 \(O(n^3)\)。

下面假设计算期望。

如果 \(k=1\)，就是个人人都会的经典问题：每对位置有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率产生一个逆序对，因此期望为 \(\dfrac{n(n-1)}{4}\)。

因此原问题相当于选出 \(k\) 对位置，要求每对位置都是逆序对，显然可以分情况讨论得到对应概率。这些位置至多覆盖 \(2k\) 个点，故答案一定为关于 \(n\) 的 \(2k\) 次多项式。然而由于点可以重复，情况数太多，无法直接计算。

同暴力算出 \(n=1 \sim 2k\) 时的答案，直接插值，时间复杂度 \(O(k^3)\)，仍然无法接受。

考虑把 \(k\) 次幂用斯特林数拆成下降幂，要求即 \(\sum\limits_i i^{\underline{p}}g_i=G^{(p)}(1)\)。

对于每个 \(F_t(x)\) 这个东西很好求。\(F_t^{(p)}(1)=\sum\limits_{i=p}^t i^{\underline{p}}=\dfrac{(t+1)^{\underline{p}}}{p+1}\)。

由莱布尼茨公式，\(G\) 的 \(p\) 次导可以通过对每个 \(F_t\) 写出指数型生成函数 \(P_t=\sum\limits_i F_t^{(i)} \dfrac{x^i}{i!}\) 卷积得到。

注意此时只需求 \(x^{2k}\) 以内的答案，于是时间复杂度变为 \(O(k^3)\)。使用 NTT 优化即可做到 \(O(k^2 \log k)\)。

最后我们算的是期望，还要乘上 \(n!\) 得到原来的答案，打个表即可。

PTZ Camp2022 H7 Hundred Thousand Points

随机变量不能当离散变量考虑。

首先由于 \(\sum a_i >360\) 一定无解，所以 \(N\) 是 \(O(M)\) 的。

容易发现 \(2 \sim n-1\) 的角一定被完全包含在上半平面或下半平面，可以对 \(1\) 及 \(n\) 的情况分类讨论，然后背包处理。

考虑如何分配空位计算答案，设上半平面的角共有 \(num1\) 个，和为 \(val1\)；下半平面的角共有 \(num2\) 个，和为 \(val2\)，则分配空位的概率为：

\[\dfrac{(180-val1)^{num1}(180-val2)^{num2}}{num1!num2!} \]

（即先将角紧密排成一排，再在空位中插入 \(num\) 个断点分配给每个空隙）

• \(1\) 及 \(n\) 同样不跨越水平线。此时所有变量都可以一视同仁，直接 DP 记录 \(num\) 与 \(val\) （本质是卷积）再计算答案即可。

• \(1\) 跨越水平线，而 \(n\) 不跨越水平线。先对 \(2 \sim n\) DP，设 \(1\) 在上半平面的角度为 \(x\)，则答案即为：

\[\dfrac{1}{num1!num2!} \int_{0}^{a_i} (180-val1-x)^{num1} (180-val2-a_1+x)^{num2} dx \]

\(n\) 跨越水平线，\(1\) 不跨越水平线的情况翻转同理。

• \(1\) 及 \(2\) 均跨越水平线。类似答案为：

\[\dfrac{1}{num1!num2!} \int_{0}^{a_1} \int_{0}^{a_n} (180-val1-x-y)^{num1} (180-val2-a_1-a_n+x+y)^{num2} dx dy \]

改为对 \(z=x+y\) 积分。不妨设 \(a_1 \leq a_n\)，则 \(z\) 的贡献系数长这样：

综上，设 \(M=180\)，卷积部分 \(O(M^3)\)，积分统计答案 \(O(M^4)\)（听说可以 NTT 优化到 \(O(M^3 \log M)\)）。

细节：积分时需要注意变量的上下界。

CF773E Special Positions (3300)

先把期望拆开，对每个位置算贡献。考虑第 \(i\) 个位置，设 \(m\) 个关键点到它的距离排序后为 \(d_1,\cdots,d_m\)，则贡献为 \(\sum\limits_{i=1}^m \dfrac{d_i}{2^i}\)。

然而由于 \(i\) 左右都有关键点，不方便排序，难以处理。

考虑不排序，直接计算 \(j\) 到 \(i\) 的贡献。设 \(p_t\) 表示 \(t\) 是否为关键点，\(cnt_t=\sum\limits_{i=0}^t p_i\)，\(pre_t=2^{cnt_t}\)。

先考虑 \(j<i\) 的情况，贡献为 \(\sum\limits_{j<i} p_j(i-j) \dfrac{pre_{j-1}}{pre_{2i-j}}=i\sum\limits_{j<i} p_j \dfrac{pre_{j-1}}{pre_{2i-j}}-\sum\limits_{j<i} jp_j \dfrac{pre_{j-1}}{pre_{2i-j}}\)，两边分别做。

如果没有 \(j<i\) 的限制就能直接卷积了。用 CDQ 分治（好像就是分治NTT），每次让左区间的点做 NTT 贡献右边即可。

\(j>i\) 的情况翻过来同理，注意 \(j\) 与 \(2i-j\) 都是关键点时会算重，改为计算 \(\sum\limits_{j<i} p_j(i-j) \dfrac{pre_{j-1}}{pre_{2i-j-1}}\) 即可。

时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

P8114 [Cnoi2021]六边形战士

Part 1

二分图完美匹配看起来难以处理……

一个奇特的想法：将所有灰边（非匹配边）割开，将每条匹配边分离开来，画一画：

十分的有立体感？不妨再把三种方向的菱形染成不同颜色：

事实上，原图的一种二分图完美匹配对应一种 \(a \times b \times c\) 的立方形堆叠。证明见此。

现在题目变成了立方体堆叠计数。这是经典问题，画出 \(1 \sim c\) 的轮廓线，限制仅是轮廓线不能互相穿过：

将第 \(i\) 条线的起点和终点都向右上平移 \(i\) 格，这样就变成了轮廓线不能相交。

考虑 LGV 引理，第 \(i\) 个起点到第 \(j\) 个终点的方案数为 \(\dbinom{a+b}{a+i-j}\)。因此答案为：

\[ANS=\det \Big(\dbinom{a+b}{a+i-j} \Big)_{i,j} \]

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Part 2

把每一行拎出来提系数。第 \(i\) 行为 \(\dbinom{a+b}{a+i-1},\dbinom{a+b}{a+i-2},\cdots,\dbinom{a+b}{a+i-c}\)，提出 \(\dfrac{(a+b)!}{(a+i-1)!(b+c-1)!}\) 就得到 \(\dfrac{(a+i-1)!}{(a+i-j)!} \dfrac{(b+c-i)!}{(b+j-j)!}=\prod\limits_{k=1}^{j-1} (a+i-k) \prod\limits_{k=j}^c (b+k-i)\)。

\[\begin{aligned} ANS &=\Big(\prod\limits_{i=1}^c \dfrac{(a+b)!}{(a+i-1)!(b+c-i)!}\Big) \det \Big(\prod\limits_{k=1}^{j-1} (a+i-k) \prod\limits_{k=j}^c (b+k-i) \Big)_{i,j}\\ &=\prod\limits_{i=1}^c (-1)^{c-i} \Big(\prod\limits_{i=1}^c \dfrac{(a+b)!}{(a+i-1)!(b+c-i)!}\Big) \det \Big(\prod\limits_{k=2}^{j} (a+i-k+1) \prod\limits_{k=j}^c (i-b-k) \Big)_{i,j} \end{aligned} \]

套用题目给出的 Krattenthaler’s formula：

\[\det \Big(\prod\limits_{k=2}^{j} (x_i+a_k) \prod\limits_{k=j+1}^n (x_i+b_k) \Big)_{i,j}=\prod\limits_{1 \leq i<j \leq n} (x_i-x_j) \prod\limits_{2 \leq i \leq j \leq n} (a_i-b_j) \]

\[ANS=(-1)^{c(c-1)/2} \Big(\prod\limits_{i=1}^c \dfrac{(a+b)!}{(a+i-1)!(b+c-i)!}\Big) \prod\limits_{1 \leq i<j \leq c} (i-j) \prod\limits_{2 \leq i \leq j \leq c} (a-i+b+j+1) \]

枚举 \(i-j\)：

\[\begin{aligned} \prod\limits_{1 \leq i<j \leq c} (i-j)&=(-1)^{c(c-1)/2} \prod\limits_{1 \leq i<j \leq n} (j-i)\\ &=(-1)^{c(c-1)/2} \prod\limits_{t=1}^{c-1} t^{c-t}\\ &=(-1)^{c(c-1)/2} \prod\limits_{t=1}^{c-1} t!\\ \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \prod\limits_{2 \leq i \leq j \leq c} (a-i+b+j+1)&=\prod\limits_{t=0}^{c-2} (a+b+1+t)^{c-1-t}\\ &=\prod\limits_{t=1}^{c-1} (a+b+t)^{c-t}\\ &=\prod\limits_{t=1}^{c-1} (a+b+t)^{\underline{t}}\\ \end{aligned} \]

到这里已经可以 \(O(n)\) 计算了。

我不满意！

\[\begin{aligned} ANS&=\Big(\prod\limits_{i=1}^c \dfrac{(a+b)!}{(a+i-1)!(b+c-i)!}\Big) \prod\limits_{t=1}^{c-1} t! \prod\limits_{t=1}^{c-1} (a+b+t)^{\underline{t}}\\ &=\prod\limits_{i=1}^c \dfrac{1}{(a+i-1)!(b+c-i)!} \prod\limits_{t=1}^{c-1} t! \prod\limits_{t=1}^{c-1} (a+b+t)!\\ \end{aligned} \]

记 \(H(n)=\prod\limits_{i=0}^{n-1} i!\)，就有：

\[ANS=\dfrac{H(a)H(b)H(c)}{H(a+b)H(b+c)H(c+a)H(a+b+c)} \]

总时间复杂度 \(O(n)\)。

LOJ6215「美团 CodeM 决赛」bt

首先不得不考虑 \(u=v\) 的情况，即为二叉树叶子个数之和。简单推一推可得 \(\dbinom{2(n-1)}{n-1}\)。

\(k\) 次幂难做，套路拆成下降幂及组合数：

\[l^k=\sum\limits_{i=0}^k i! S2(k,i) \dbinom{l}{i} \]

转而数其组合意义。相当于在 \(u\) 到 \(v\) 的路径上特殊标记了 \(k\) 个点，再数方案数。

考虑大力设出生成函数，多加一维 \(y\) 表示标记个数。设 \(F_0,F_1,F_2\) 分别表示子树内包含 \(u,v\) 中 \(0,1,2\) 个点的生成函数（为了方便，这里不计算 \(u,v,lca\) 的贡献，最后乘上 \(x^3(1+y)^3\) 即可）。有：

\[F_0=1+xF_0^2 \]

\[F_1=1+2x(y+1)F_0F_1 \]

\[F_2=F_1^2+2xF_0F_2 \]

大力解得：

\[F_0=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} \]

\[F_1=\dfrac{-1}{y-(y+1)\sqrt{1-4x}} \]

\[F_2=\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}(y-(y+1)\sqrt{1-4x})^2} \]

令 \(t=\sqrt{1-4x}\)，则 \(F_2=t^{-3}[1-(t^{-1}-1)y]^{-2}\)。

先将 \(F_2\) 暴力展开成关于 \(y\) 与 \(t^{-1}\) 的二元多项式，再考虑 \([x^n]t^{-k}=[x^n](1-4x)^{-k/2}=[x^n] \sum\limits_i \dbinom{-k/2}{i} (-4)^i=\dbinom{-k/2}{n} (-4)^n\)。

至于一半组合数，暴力展开或者参考 \(x^{\underline k} (x-1/2)^{\underline k}=\dfrac{(2x)^{\underline {2k}} }{2^{2x}}\)，同样 \(O(1)\) 计算。

总时间复杂度 \(O(n+m^2)\)。

LOJ3626「2021 集训队互测」愚蠢的在线法官

显然若有重复的 \(A_i\)，则有两列完全相同，行列式为 \(0\)。

否则，由于交换 \(A_i\) 及 \(A_j\) 对行列式无影响，我们不关心 \(\{A_i\}\) 的顺序。为了方便，假设 \(A_i\) 是按 dfs 序排列的。

树的结构十分适合递归，考虑递归划分矩阵。

下面记两个子树对应的子矩阵中元素分别记为 \(A\)，\(B\)，减去 \(w_u\) 后的元素分别记为 \(A'\)，\(B'\)。

若 \(u\) 在 \(A\) 中出现了，则矩阵大概长成这样：

\[\left [ \begin{matrix} w_u & w_u & \cdots & w_u & w_u & \cdots & w_u\\ w_u & A & \cdots & A & w_u & \cdots & w_u\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ w_u & A & \cdots & A & w_u & \cdots & w_u\\ w_u & w_u & \cdots & w_u & B & \cdots & B\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ w_u & w_u & \cdots & w_u & B & \cdots & B\\ \end{matrix} \right ] \]

用第一行消元，变为：

\[\left [ \begin{matrix} w_u & w_u & \cdots & w_u & w_u & \cdots & w_u\\ 0 & A' & \cdots & A' & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & A' & \cdots & A' & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & B' & \cdots & B'\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & B' & \cdots & B'\\ \end{matrix} \right ] \]

注意到该矩阵的行列式即为 \(w_u\) 乘上 \(\{1\}\) 的主子行列式。

若 \(u\) 没有出现，手动将矩阵内每个元素减去 \(w_u\) 可以得到相同的形式。

问题变为如何快速计算某矩阵 \(M\) 内每个元素同时加上 \(x\) 后的行列式。有结论：设其为关于 \(x\) 的函数 \(f(x)\)，则 \(f(x)=ax+b\)。其中 \(b=\det(M)\)，\(a\) 为 \(M\) 的所有代数余子式之和。

详细推导如下：

\[\begin{aligned} \det(M') &= \sum\limits_{P} (-1)^{\sigma(P)} \prod\limits_i (M_{i,P_i}+x)\\ &=\sum\limits_{S \subseteq [n]} x^{|S|} \sum\limits_{P} (-1)^{\sigma(P)} \prod\limits_{i \notin S} M_{i,P_i}\\ \end{aligned} \]

当 \(|S| \geq 2\) 时，交换 \(P\) 中不在 \(S\) 中的两个元素，贡献会抵消。只考虑 \(|S|=0 / 1\) 的情况。

\[\det(M')=det(M)+x\sum\limits_{t=1}^n \sum\limits_{P} (-1)^{\sigma(P)} \prod\limits_{i \neq t} M_{i,P_i} \]

后面的系数即为 \(M\) 的所有代数余子式之和。

因此 DP 记录 \(f_u=a\) 及 \(g_u=b\)。具体过程为：设递归到该层时所有元素已减去 \(del\)，先将子矩阵中的元素减去 \(w_u-del\) 递归得到 DP 值，再合并，最后加回减去的 \(w_u-del\)。

转移时行列式直接相乘。考虑代数余子式，若选在两个子矩形以外的位置，则贡献为 \(0\)。否则为其中一个子矩阵的行列式乘上另一个子矩阵的代数余子式。

即 \(g_u \leftarrow f_ug_v+f_vg_u\)，\(f_u \leftarrow f_uf_v\)。

总时间复杂度 \(O(n)\)。叶节点需要特判，有些细节。

LOJ3395「2020-2021 集训队作业」Yet Another Permutation Problem

与 ARC134F 也太像了吧

考虑如何判断一个排列能否在 \(k\) 次操作内得到。显然充要条件为 存在连续 \(n-k\) 个单调递增的数。

容斥，计算所有极长单调递增连续段长度都小于 \(p=n-k-1\) 的排列个数。

后面的限制是简单的，可以直接对段长设生成函数 \(F=\sum\limits_{i=0}^p x^i=\dfrac{1-x^{p+1}}{1-x}\) 并卷积；然而极长连续段的限制难以处理（直接卷会算重）。

使用同 ARC134F Flipping Coins 的方法，给每个长度赋一个新的权组成生成函数 \(A\)，并使 \(A\) 任意组合后正好为 \(F\)：

\[\dfrac{1}{1-A}=F \]

\[A=1-\dfrac{1}{F} \]

于是答案就是 \(n![x^n] \dfrac{1}{1-\hat A}\)。暴力实现 \(O(n^3)\)。

注意到 \(\dfrac{1}{F}=\dfrac{1-x}{1-x^{p+1}}=\sum\limits_d (1-x)x^{d(p+1)}\) 只有 \(O(\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor)\) 项，因而对 \(F\) 求逆的复杂度为 \(O(n \lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor)\)。可以接受。

总时间复杂度 \(O(n^2 \ln n)\)。

2021ICPC 上海站 (GYM103446) B Strange Permutations

将 \(i\) 向 \(P_i\) 连边，合法的 \(Q\) 即不存在相邻的两个数 \(Q_i\) 与 \(Q_{i+1}\) 相连。

大力对边容斥，若钦定了 \(k\) 条边必须在 \(Q\) 中相邻，则对应方案数为 \((n-k)!\)（每一条边相当于把两个位置合并）。

接下来只需要对每个 \(k\) 算出钦定 \(k\) 条边的方案数。对每个环，设其长为 \(l\)，则写出生成函数 \(F=(1+x)^l-x^l\)，将所有 \(F\) 卷起来即可得到答案。

使用分治乘，时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

2021CCPC 广州站 (GYM103415) K Magus Night

意识到 \(\text{lcm} \geq p\) 十分的怪异（因为 \(\text{lcm}\) 可以非常大） ，于是考虑容斥，计算 \(\gcd \leq q\) 的方案减去 \(\gcd \leq q \wedge \text{lcm} < p\) 的方案。

第一个问题非常好算。设 \(f_d\) 表示 \(\gcd =d\) 的方案，\(g_d\) 表示钦定每个数都被 \(d\) 整除的方案。则：

\[g_d=\sum\limits_{i \mid d} f_i \]

可以莫比乌斯反演得到 \(f_d=\sum\limits_{i \mid d} \mu(\dfrac{d}{i}) g_i\)。

第二个问题用同样的方法，现在需要对每个 \(d\) 求出每个数都被 \(d\) 整除且 \(\text{lcm} < p\) 的方案，即任意选数 \(\text{lcm} \leq \lfloor \dfrac{p-1}{d} \rfloor\) 的方案。

再套容斥，设 \(p_d\) 表示 \(\text{lcm}=d\) 的方案，\(q_d\) 为钦定每个数都整除 \(d\) 的方案（可以通过算约数和处理）。则：

\[q_d=\sum\limits_{d \mid i} p_i \]

可以用倍数莫比乌斯反演得到 \(p_d=\sum\limits_{d \mid i} \mu(\dfrac{i}{d}) q_i\)。

总时间复杂度 \(O(m (\ln m+\log n))\)。

LOJ3393「2020-2021 集训队作业」Game on Tree

记 \(u\) 子树内叶子节点集合为 \(L_u\)，到 \(1\) 号点深度为偶数的非叶节点集合为 \(A_u\)，深度为奇数的非叶节点集合为 \(B_u\)。

考虑 DP。设 \(f_{u,i,j}\) 表示 \(u\) 的子树合法，Alice 的最优值为 \(i\) 且 Bob 的最优值为 \(j\) 的方案数。\(x_{u,i}\) 表示 \(u\) 的子树中 Alice 的最优值不超过 \(i\) 的方案数；\(y_{u,i}\) 表示 \(u\) 的子树中 Bob 的最优值不超过 \(i\) 的方案数。

考虑转移，不妨设 \(u \in A\)，\(l\) 与 \(r\) 分别表示左右儿子，考虑 Alice 选择接在哪边，则有：

\[f_{u,i,j}=f_{l,i,j}x_{r,i}+f_{r,i,j}x_{l,i} \]

\[x_{u,i}=2x_{l,i}x_{r,i} \]

\[y_{u,i}=2^{|A_r|+|B_r|}k^{2|L_r|}y_{l,i}+2^{|A_l|+|B_l|}k^{2|L_l|}y_{r,i} \]

注意到 \(x\) 与 \(y\) 似乎关联性不大。考虑做一些变换使 \(x\) 与 \(y\) 独立。

朴素的想法是令 \(x'_{u,i}=x_{u,i}/(2^{|A_u|+|B_u|}k^{2|L_u|}i)\)，\(y'_{u,i}=y_{u,i}/(2^{|A_u|+|B_u|}k^{2|L_u|}i)\)，然而带入第三个式子后会出现 \(/2\)（因为 \(A_u=A_l+A_r+1\)），模数不为质数难以处理。

将 \(A\) 和 \(B\) 分开在 \(x\) 与 \(y\)。令 \(x'_{u,i}=x_{u,i}/(2^{|A_u|}k^{|L_u|}i)\)，\(y'_{u,i}=y_{u,i}/(2^{|B_u|}k^{|L_u|}i)\)，则递推式变为：

\[f_{u,i,j}=2^{|A_r|}k^{2|L_r|}f_{l,i,j}x'_{r,i}+2^{|A_l|}k^{2|L_l|}f_{r,i,j}x'_{l,i} \]

\[x'_{u,i}=ix'_{l,i}x'_{r,i} \]

\[y'_{u,i}=2^{|A_r|}k^{|L_r|}y'_{l,i}+2^{|A_l|}k^{|L_l|}y'_{r,i} \]

这时发现 \(f_{u,i,j}=x_{u,i}y_{u,j}\)，边界条件为 \(x_{leaf,i}=y_{leaf,i}=1\)，答案即为 \((\sum x_{u,i})(\sum y_{u,i})\)。

视多项式 \(F_u(x)\) 满足 \(F_u(i)=x_{u,i}\)。由于上述转移过程中每次只会使多项式系数 \(+1\)，所有节点系数的多项式至多为 \(n-1\)。可以 \(O(n^2)\) 处理 \(0 \sim n\) 的点值，再用拉格朗日插值得到答案。

具体而言，考虑拉格朗日插值公式：

\[F(x)=\sum\limits_{i=0}^n y_i \prod\limits_{j \neq i} \dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

预处理出 \(l_i(k)=\prod\limits_{j \neq i} \dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}\)，每个询问带入求值即可。然而模数不是质数，无法取逆。

注意到拉格朗日基本多项式 \(l_i(x)\) 在 \(i\) 处为 \(1\)，在 \([0,n] \setminus \{i\}\) 处为 \(0\)，故其为整值多项式，一定可以表示为 \(\sum\limits_{t=0}^n c_t \dbinom{x}{t} (c_t \in \Z)\) 的形式。

有：

\[y_p=\sum\limits_{t=0}^p c_t \dbinom{p}{t}=[p=i] \]

\[c_p=\sum\limits_{t=0}^p (-1)^{p-t} y_t \dbinom{p}{t}=(-1)^{p-i} \dbinom{p}{i} \]

\[l_i(k)=\sum\limits_{t=i}^n (-1)^{t-i} \dbinom{t}{i} \dbinom{k}{t} \]

只要处理出 \(\dbinom{k}{t}\) 即可。

不断将组合数乘上 \(k-i+1\)，再除掉 \(i\)，运算过程不会出现分数。故将一个数分成两部分：其含 \(p\) 的质因数的指数 及 与 \(p\) 互质的部分，即可通过欧拉定理求逆。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

LOJ3630「2021 集训队互测」Imbalance

记前缀和为 \(\{s_i\}\)。考虑 \(\{s_i-s_{i-k}\}\)，其为连续变化的（即差值在 \([-1,1]\) 间），故要么所有 \(s_i-s_{i-k}<\dfrac{k}{2}\)，要么所有 \(s_i-s_{i-k}>\dfrac{k}{2}\)。不妨考虑第一种情况，第二种情况反转同理。

将所有第 \(i\) 个点画到第 \(i \bmod k\) 个位置上，会形成 \(\lfloor \dfrac{n}{k} \rfloor\) 条折线。再将第 \(t\) 条折线向下平移 \(t \cdot \dfrac{k}{2}\)（即对应 \((i \bmod k,s_i-\lfloor \dfrac{i}{k} \rfloor \dfrac{k}{2})\)），则原条件转化为 \(\lfloor \dfrac{n}{k} \rfloor\) 条折线两两不交。

...

CF1654H Three Minimums (3500)

标记记号 \(check[i,<]=[i>m \vee s_i='<']\)，\(check[i,<]=[i>m \vee s_i='>']\)。

考虑一个序列是否是好的：

• 若 \(1\) 不在两端，设 \(p_i=1\)，则 \(p[1:n]\) 合法当且仅当 \(p[1:i]\) 与 \(p[i:n]\) 合法；

• 若 \(1\) 在两端（不妨设 \(p_1=1\)）：

  • 若 \(2\) 不在另一端，设 \(p_j=2\)，则 \(p[1:n]\) 合法当且仅当 \(p[1:j]\) 与 \(p[j:n]\) 合法。

  • 否则 \(p_n=2\)，则 \(p[1:n]\) 合法当且仅当 「\(p_2=3\)，\(p[2:n]\) 是好的」 或者 「\(p_{n-1}=3\)，\(p[1:n-1]\) 是好的」。

于是设计一个区间 DP。设 \(a_{**}(l,r),a_{1*}(l,r),a_{*1}(l,r),a_{12}(l,r),a_{21}(l,r)\) 分别表示对于区间 \((l,r)\)，满足给定条件的「区间两端无限制」，「区间左端点为最小值」，「区间右端点为最小值」，「区间左端点为最小值，右端点为次小值」，「区间左端点为次小值，右端点为最小值」的方案数。于是有：

\[a_{**}(l,r)=\sum\limits_{i=l}^r a_{*1}(l,i) a_{1*}(i,r) \dbinom{r-l}{i-l} \]

\[a_{1*}(t,t)=1,a_{1*}(l,r)=\sum\limits_{i=l+1}^r a_{12}(l,i) a_{1*}(i,r) \dbinom{r-l-1}{i-l-1} \]

\[a_{*1}(t,t)=1,a_{*1}(l,r)=\sum\limits_{i=l}^{r-1} a_{*1}(l,i) a_{21}(i,r) \dbinom{r-l-1}{i-l} \]

\[a_{12}(t,t+1)=check[t,<],a_{12}(t,t+2)=check[t,<]check[t+1,>],a_{12}(l,r)=check[l,<]a_{21}(l+1,r)+check[r-1,>]a_{12}(l,r-1) \]

\[a_{21}(t,t+1)=check[t,>],a_{21}(t,t+2)=check[t,<]check[t+1,>],a_{21}(l,r)=check[l,<]a_{21}(l+1,r)+check[r-1,>]a_{12}(l,r-1) \]

暴力做时间复杂度 \(O(n^3)\)，无法接受。

---

答案为 \(a_{**}(1,n)\)，故要对所有 \(k \in [k,n]\) 计算出 \(a_{*1}(1,k)\) 及 \(a_{1*}(k,n)\)。

Part 1：\(a_{*1}(1,k)\)

DP 式为 \(a_{*1}(1,1)=1\)，\(a_{*1}(1,k)=\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_{*1}(1,i) a_{21}(i,k) \dbinom{k-2}{i-1}\)。

观察到给左右两边的 \(a_{*1}\) 同乘阶乘会使形式简化许多。设 \(a_{*1}(1,k)=(k-1)!x_{k-1},x_0=1\)，则有：

\[(k-1)!x_{k-1}=\sum\limits_{i=1}^{k-1} (i-1)!x_{i-1} a_{21}(i,k) \dfrac{(k-2)!}{(i-1)!(k-i-1)!} \]

\[(k-1)x_{k-1}=\sum\limits_{i=1}^{k-1} x_{i-1} a_{21}(i,k) \dfrac{1}{(k-i-1)!} \]

\[k x_k=\sum\limits_{i=1}^k x_{i-1} a_{21}(i,k+1) \dfrac{1}{(k-i)!} \]

\[k x_k=\sum\limits_{i=0}^{k-1} x_i \dfrac{a_{21}(i+1,k+1)}{(k-i-1)!} \]

这个形式很好看，但是 \(a_{21}(i+1,k+1)\) 有两个变量而难以处理。

注意到限制只在前 \(m\) 位处，故对于 \(l>m\) 的状态，其 DP 值只与长度 \(r-l+1\) 有关。设 \(b_{??}(k)=a_{??}(m+1,m+k)\)。上式就可以改写为：

\[k x_k=\sum\limits_{i=0}^{k-1} x_i \dfrac{b_{21}(k-i+1)}{(k-i-1)!}+\sum\limits_{i=0}^{\min(k-1,m-1)} x_i \dfrac{a_{21}(i+1,k+1)-b_{21}(k-i+1)}{(k-i-1)!} \]

记 \(u_i=\dfrac{b_{21}(i+2)}{i!}\)，\(v_{k-1}=\sum\limits_{i=0}^{\min(k-1,m-1)} x_i \dfrac{a_{21}(i+1,k+1)-b_{21}(k-i+1)}{(k-i-1)!}\)。则：

\[k x_k=v_{k-1}+\sum\limits_{i=0}^{k-1} x_i u_{k-i-1} \]

写成生成函数就是 \(X'=V+UX\)，解这个微分方程得到 \(X=\exp(\int U)\Big[1+\int \Big( V \exp(-\int U) \Big) \Big]\)。

注意到 \(b_{21}(k)=2^{k-2}+[k=1]\)，对所有 \(l \in [1,m+1]\)，\(r \in (l,n]\) 暴力 DP 出 \(a_{21}(l,r)\) 即可得到 \(b_{21}(k)\)，再对所有 \(t \in [1,m]\) 暴力 DP 得到 \(x_t\)，即可计算 \(U\) 与 \(V\)。

Part 2：\(a_{1*}(k,n)\)

注意到 \(k>m\) 时 \(a_{1*}(k,n)=b_{1*}(n-k+1)\)，考虑先求出 \(b_{1*}(k)\)，求出后可对 \(k \in [1,m]\) 暴力 DP 出 \(a_{1*}(k,n)\)。

DP 式为 \(a_{1*}(n,n)=1,a_{1*}(k,n)=\sum\limits_{i=k+1}^n a_{12}(k,i) a_{1*}(i,n) \dbinom{n-k-1}{i-k-1}\)，即：

\[b_{1*}(k)=\sum\limits_{i=2}^{k} b_{12}(i) b_{1*}(k-i+1) \dbinom{k-2}{i-2}=\sum\limits_{i=1}^{k-1} b_{1*}(i) b_{12}(k-i+1) \dbinom{k-2}{i-1} \]

令 \(b_{1*}(k)=(k-1)!y_{k-1}\)，代入：

\[(k-1)! y_{k-1}=\sum\limits_{i=1}^{k-1} (i-1)! y_{i-1} b_{12}(k-i+1) \dfrac{(k-2)!}{(i-1)!(k-i-1)!} \]

\[(k-1) y_{k-1}=\sum\limits_{i=1}^{k-1} y_{i-1} \dfrac{b_{12}(k-i+1)}{(k-i-1)!} \]

\[k y_k=\sum\limits_{i=1}^{k} y_{i-1} \dfrac{b_{12}(k-i+2)}{(k-i)!} \]

\[k y_k=\sum\limits_{i=0}^{k-1} y_{i} \dfrac{b_{12}(k-i+1)}{(k-i-1)!}=\sum\limits_{i=0}^{k-1} y_{i} u_{k-i-1} \]

于是有 \(Y'=UY\)，解得 \(Y=\exp(\int U)\)。

总时间复杂度 \(O(n(\log n+m))\)。

CF1616H Keep XOR Low (3000)

小于等于不好算，改为小于 \(x+1\)。首先处理出 \(x\) 的最高位，显然不能选两个高位不同的 \(a_i\)，故将所有 \(a_i\) 按高位分类。

对所有 \(a_i\) 建出字典树，设 \(siz_u\) 表示 \(u\) 节点子树内的 \(a_i\) 个数。下面设 \(u_1=ls(u)\)，\(u_2=rs(u)\)。

考虑递推，设 \(f_{u,v}\) 表示 选出 \(u\) 子树内一些数（不能不选）并选出 \(v\) 子树内一些数（不能不选）组成的合法答案数量，则：

\[f_{u,v}=f_{u_1,v_1}+f_{u_2,v_2},x_{dep_u}=0 \]

\[f_{u,v}=f_{u_1,v_2}f_{u_2,v_1}+f_{u_2,v_1}(2^{siz_{u_1}}+2^{siz_{v_2}}-1)+f_{u_1,v_2}(2^{siz_{u_2}}+2^{siz_{u_1}}-1)+(2^{siz_{u_1}}-1)(2^{siz_{v_1}}-1)+(2^{siz_{u_2}}-1)(2^{siz_{v_2}}-1),x_{dep_u}=1 \]

容易发现一个 \(u\) 对应的 \(v\) 是唯一的，故状态数量与节点数量同阶。

时间复杂度 \(O(n \log a_i)\)。

CF1119H Triple (3200)

鸽了好久没写，已经被问过3遍了

\[[x^S]\prod_{t=1}^n \Big(\sum\limits_{i=1}^k p_i x^{a_{t,i}} \Big) \]

暴力即对每一层做 FWT，再点积起来做 IFWT。

考虑到只有 \(k\) 种值，故 IFWT 后也只有 \(2^k\) 种值。只要算出每个位置上每种值的层数，就能得到答案。

下面定义一种新变换 \(\otimes\)，\(S\) 到 \(T\) 的贡献系数为 \(S \otimes T=|S \cap T| \bmod 2\)。

设 \(f_{mask,S}\) 表示 \(S\) 中的元素恰好贡献到 \(mask\) 的层数，即：

• \[\forall i \in S,a_{t,i} \otimes mask=1 \]

• \[\forall i \notin S,a_{t,i} \otimes mask=0 \]

再设 \(g_{mask,S}\) 表示满足 \((\oplus_{i \in S} a_{t,i}) \otimes mask=1\) 的层数。容易通过 FWT 得到，该部分复杂度 \(O(m2^{m+k})\)。

考虑 \(g_S\) 会被哪些 \(f_T\) 统计到。由 \((\oplus_{i \in S} a_{t,i}) \otimes mask=1\)：

\[[(\oplus_{i \in S \cap T} a_{t,i}) \otimes mask] \oplus [(\oplus_{i \in S \setminus T} a_{t,i}) \otimes mask]=1 \]

\[(\oplus_{i \in S \cap T} a_{t,i}) \otimes mask=1 \]

\[|S \cap T| \bmod 2=1 \]

\[S \otimes T=1 \]

故对 \(F\) 作 \(\otimes\) 变换即得到 \(G\)，对 \(G\) 作 \(\otimes\) 逆变换即得到 \(F\)。该部分复杂度 \(O(k2^{m+k})\)。

容易发现 \(\otimes\) 变换与 FWTxor 变换是线性关系，故将 \(\otimes\) 变换替换为 FWTxor 变换是等价的。

总时间复杂度 \(O(n2^k+(m+k)2^{m+k})\)。

PTZ Camp2022 B6 Gachapon | PR#3 抽卡

直接 DP。考虑计算 \(t\) 的答案，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 级合法抽卡抽出的卡等级不超过 \(j\) 的概率，\(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 级合法抽卡抽出的卡等级不超过 \(j\) 的情况中抽到 \(t\) 的期望次数。

转移期望时，由于每个子树相同，可以只计算一个子树的贡献，再乘上 \(b_i\)。

\[f_{i,j} \leftarrow f_{i-1,j}^{b_i}-f_{i-1,i-1}^{b_i} \]

\[g_{i,j} \leftarrow b_i(g_{i-1,j} f_{i-1,j}^{b_i-1}-g_{i-1,i-1} f_{i-1,i-1}^{b_i-1}) \]

答案即为 \(g_{n,m}\)。

枚举 \(t\)，时间复杂度 \(O(nm^2 \log b)\)。

注意到对于不同的 \(t\)，答案状态是相同的。且计算出 \(f\) 后 \(g\) 的转移是线性的。直接将 \(g_{n,m}\) 设为 \(1\)，倒推即可。

时间复杂度 \(O(nm \log b)\)。

技巧：动态规划倒推。将转移视为带权边，则产生一张 DAG。定义路径的权为其中所有边权之积。
设初始状态为 \(S\)，终止状态为 \(T\)。将 \(S\) 的 DP 值设为 \(1\)，则 \(T\) 的 DP 值可视为 \(S\) 到 \(T\) 的所有路径权值和。
故将所有边反向，权值不变，将 \(T\) 的 DP 值设为 \(1\)，倒着转移可在 \(S\) 处得到原先终止状态的 DP 值。

P7519 [省选联考 2021 A/B 卷] 滚榜

显然对每种最终排列计算其对应的最少过题数量，与 \(m\) 比较即可判断是否合法。

设排列为 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，定义 \(p_0\) 为 \(a_i\) 最大的中最靠前的 \(i\)。设 \(b_i\) 表示在合法前提下 \(p_i\) 的最少过题数量，则有：

• \(b_i=b_{i-1},a_{p_i}>a_{p_{i-1}}\)

• \(b_i=b_{i-1}+a_{p_{i-1}}-a_{p_i}+[p_{i-1}<p_i],a_{p_i} \leq a_{p_{i-1}}\)

注意到 \(\{b_i\}\) 单调不降，且每次增量与 \(b_{i-1}\) 无关。于是在每次加入 \(p_i\) 时直接预先给后面所有的 \(b_i\) 加上增量，就不必再记录上一个 \(b_i\) 的值。

考虑状压 DP，从前到后填 \(\{p_i\}\)。设 \(f_{S,i,j}\) 表示已经填了 \(S\) 里的数，最后一个填的数为 \(i\)，目前 \(b_i\) 的和为 \(j\) 的方案数，直接转移即可。

时间复杂度 \(O(n^2m2^n)\)，空间复杂度 \(O(nm2^n)\)。

PTZ Summer 2021 Day 1 G Generate the Sequences

理解一下题意立即发现题目等价于：

有一变量 \(x=0\)，每次可以令 \(x \leftarrow x+m-2\)（\(1\) 种方案），\(x \leftarrow x\)（\(1\) 种方案） 或 \(x \leftarrow x-1\)（\(x\) 种方案）。求操作 \(n\) 次方案数。

然而 \(x\) 的值难以维护，至少要记录 \(1,3\) 操作的次数，只能做到 \(O(n^3)\)。

注意到 \(1,3\) 操作与 \(2\) 操作是几乎独立的，可以分开考虑，按 \(1,3\) 操作 DP 再统计 \(2\) 操作的方案数。

考虑类似 ARC112E Cigar Box，对于每次 \(2\) 操作不立刻进行，而是将其操作的时间延后。于是每次只需考虑在之后的操作中选出一些做 \(2\) 操作。

设 \(f_k\) 表示剩下 \(k\) 次操作，已经进行的操作的方案数。考虑下一次是 \(1\) 操作还是 \(3\) 操作，则：

\[f_{k-1} \leftarrow f_k \]

\[f_{k-i-1} \leftarrow \dbinom{k-1}{i} \dbinom{m-2}{i} f_k \]

时间复杂度 \(O(n^2)\)，显然可以用分治 FFT 优化至 \(O(n \log^2 n)\)。

PTZ Summer 2021 Day 1 M Multiple Parentheses

设 \(C(x)\) 表示卡特兰数的生成函数，则答案为：

\[[x^m][C(x)-c_k x^k]^n \]

常数很小的多项式快速幂能过吗

拆开（或容斥）后只需快速计算 \(S(n,k)=[x^n]C^k(x)\) 即可。

结论：

\[[x^n]C^k(x)=\dbinom{k-1+2n}{n}-\dbinom{k-1+2n}{n-1}=\dfrac{k}{k+n} \dbinom{k-1+2n}{n} \]

组合证明：相当于 \(k\) 个合法括号拼起来。尝试建立其与由 \((0,k-1)\) 走到 \((2n+k-1,0)\) 的 \(\text{Dyck}\) 路径的双射：

• 括号序列组 \(\rightarrow\) 路径：依此按照每个括号序列行走，在走完每个括号序列后额外向右下走一步。
• 路径 \(\rightarrow\) 括号序列组：取所有前缀 min 作为断点将整条路径分为 \(n\) 条路径，从而对应括号序列组。

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

PTZ Winter 2021 Day 8 G Biological Software Utilities

不会组合做法

考虑如何判断一棵树是否为二分图。可以类似拓扑排序不断删掉叶子，看是否能删空。

具体而言，设 \(dp_u\) 表示 \(u\) 是否与子树内的匹配。则：

\[dp_u= \begin{cases} 1, 子树内全为 0\\ 0, 子树内恰有一个 1 \end{cases} \]

若子树内有多个 \(1\) 则整棵树不合法。

上生成函数。设 \(F(x),G(x)\) 分别表示根的 DP 值为 \(0,1\) 的有标号有根树的指数型生成函数。则：

\[F(x)=xG(x) \exp F(x) \]

\[G(x)=x\exp F(x) \]

于是 \(F(x)=G(x)^2\)，代入得：

\[\sqrt{F(x)}=x \exp F(x) \]

\[\ln \dfrac{F(x)}{x^2}=2 F(x) \]

注意 \(F(x)\) 只在偶数项有值，令 \(F(x)=P(x^2)\)，则：

\[\ln \dfrac{P(x^2)}{x^2}=2 P(x^2) \]

\[\ln \dfrac{P(x)}{x}=2 P(x) \]

设 \(Q(x)\) 为 \(P(x)\) 的复合逆。

\[\ln \dfrac{x}{Q(x)}=2 x \]

\[\dfrac{x}{Q(x)}=e^{2x} \]

由拉格朗日反演：

\[\begin{aligned} [x^n]P(x) &=\dfrac{1}{n} [x^{n-1}] (\dfrac{x}{Q(x)} )^n\\ &= \dfrac{1}{n} [x^{n-1}] e^{2nx}\\ &= \dfrac{(2n)^{n-1}}{n!}\\ \end{aligned} \]

故 \(f_n=\dfrac{n^{n/2-1}}{(n/2)!}(2 \mid n)\)。

答案即为：

\[Ans= \begin{cases} 0, 2 \nmid n\\ \dfrac{(n-1)! n^{n/2-1}}{(n/2)!}, 2 \mid n \end{cases} \]

总时间复杂度 \(O(n)\)。

LOJ6495 「雅礼集训 2018 Day1」树

为什么网上全是 n^4 | 为啥不出 n=1000

假装没有第一问，不考虑精度问题。

从上往下 DP，设 \(f_{i,j}\) 表示子树大小为 \(i\)，深度为 \(j\) 的方案数。考虑根的最前面的儿子，转移即：

\[f_{i+j,\max(p,q+1)} \leftarrow \dbinom{i+j-2}{i-1} f_{i,p} f_{j,q} \]

枚举 \(i+j\) 分层转移，朴素转移 \(O(n^4)\)。

注意到第二维相当于 \(\max\) 卷积，前缀和/差分优化即可做到 \(O(n^3)\)。

注意到第一维相当于多项式卷积，再上个 NTT 即可做到 \(O(n^2 \log n)\)。

LOJ3120 [CTS2019] 珍珠

记 \(c=\min(d,n-2m)\)，相当于要求出现奇数次的颜色不超过 \(c\) 种。

\[\begin{aligned} Ans&=[x^n] \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (\dfrac{e^x-e^{-x}}{2})^i (\dfrac{e^x+e^{-x}}{2})^{d-i}\\ &=2^{-d} [x^n] e^{-d} \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (e^{2x}-1)^i (e^{2x}+1)^{d-i} \end{aligned} \]

记 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (x-1)^i (x+1)^{d-i}\)，则 \(Ans=2^{-d} \sum\limits_{i=0}^d (2i-d)^n\)。下面考虑计算 \(F(x)\)。

\(F(x)\) 是 D-finite 的，考虑对其求导：

\[F'(x)=\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} i(x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i}+\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (d-i) (x-1)^{i} (x+1)^{d-i-1} \]

\[\begin{aligned} dF(x)&=\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} i (x-1)^i (x+1)^{d-i}+\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (d-i) (x-1)^i (x+1)^{d-i}\\ &=(x-1) \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} i (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i}+(x+1)\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (d-i) (x-1)^{i} (x+1)^{d-i-1}\\ &=xF'(x)+\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (d-i) (x-1)^{i} (x+1)^{d-i-1}-\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} i (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i}\\ &=xF'(x)+\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i-1}[(d-i)(x-1)-i(x+1)]\\ &=xF'(x)+\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i-1}[d(x-1)-2ix]\\ &=xF'(x)+d\sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d}{i} (x-1)^i (x+1)^{d-i-1}-2dx \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d-1}{i-1} (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i-1}\\ &=xF'(x)+d \{ \sum\limits_{i=0}^c (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i-1}[(x-1)\dbinom{d}{i}-2x\dbinom{d-1}{i-1}] \} \\ &=xF'(x)+d \{ \sum\limits_{i=0}^c (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i-1}[(x-1)\dbinom{d-1}{i}-(x+1)\dbinom{d-1}{i-1}] \} \\ &=xF'(x)+d \{ \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d-1}{i} (x-1)^{i} (x+1)^{d-i-1} - \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d-1}{i-1} (x-1)^{i-1} (x+1)^{d-i} \} \\ &=xF'(x)+d \{ \sum\limits_{i=0}^c \dbinom{d-1}{i} (x-1)^{i} (x+1)^{d-i-1} - \sum\limits_{i=0}^{c-1} \dbinom{d-1}{i} (x-1)^{i} (x+1)^{d-i-1} \} \\ &=xF'(x)+d \dbinom{d-1}{c} (x-1)^{c} (x+1)^{d-c-1} \\ \end{aligned} \]

即 \((d-\vartheta)F(x)=d \dbinom{d-1}{c} (x-1)^{c} (x+1)^{d-c-1}\)。设 \(a=c,b=d-c-1\)，只需快速计算 \(G(x)=(x-1)^{a} (x+1)^{b}\) 即可。

\(G(x)\) 也是 D-finite 的，对其求导：

\[G'(x)=a(x-1)^{a-1}(x+1)^b+b(x-1)^a(x+1)^{b-1}=G(x)(\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x-1}) \]

\[(x^2-1)G'(x)=[(a+b)x+(a-b)]G(x) \]

\[-(i+1)g_{i+1}=(a-b)g_i+(a+b-i+1)g_{i-1} \]

于是可以线性递推。

计算答案时，求 \(i^n\) 可以线性筛，复杂度 \(O(\dfrac{d \log n}{\ln d})=O(d \log_d n)\)。

总时间复杂度 \(O(d \log_d n)\)。

LOJ2554「CTSC2018」青蕈领主

显然若将每个 \(i\) 对应的区间 \([i-a_i+1,i]\) 画出，这些区间一定形成树的结构，否则不合法。

具体而言，区间 \([i-a_i+1,i-1]\) 一定能被分成若干极长连续的子区间（即儿子）。可以将每个子区间看成一个数，故设子区间个数为 \(son_u\)，只需要求出形如 1 1 ... 1 n+1 问题的答案 \(f_n\)，答案即为 \(\prod\limits_u f_{son_u}\)。

利用递归的结构，设 \(G(x)=\sum\limits_{i=1}^{+ \infty} i! x^i\)，则有：

\[G(x)=xF(G(x))+x \]

\[F(G(x))+1=\dfrac{G(x)}{x} \]

设 \(R(x)\) 为 \(G(x)\) 的复合逆，代入 \(R(x)\) 可得：

\[F(x)=\dfrac{x}{R(x)}-1 \]

接下来只需要求 \(R(x)\) 即可。注意到 \(G(x)\) 是 D-finite 的，可知 \((x-1)G(x)+x^2 G'(x)+x=0\)，代入 \(R(x)\) 得：

\[x(R(x)-1)+R(x)^2 G'(R(x))+R(x)=0 \]

由 \(1=G(R(x))'=R'(x) G'(R(x))\)，

\[x(R(x)-1)+\dfrac{R(x)^2}{R'(x)}+R(x)=0 \]

\[xR(x)R'(x)-xR'(x)+R(x)^2+R(x)R'(x)=0 \]

\[\sum\limits_{i=1}^{n-1} ir_ir_{n-i}+\sum\limits_{i=1}^{n-1} r_ir_{n-i}+\sum\limits_{i=1}^{n} ir_ir_{n+1-i}=nr_n \]

\[-r_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1} (i+1)r_ir_{n-i}+\sum\limits_{i=2}^{n-1} ir_ir_{n+1-i} \]

分治 FFT 即可。时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

LOJ3726「SDOI / SXOI2022」多边形

对一条边考虑，关注边上的顶点（不含两端）。由于允许这些点不连边，先枚举哪些点连边。

凸 \(n\) 边形的三角剖分有 \(Catalan(n-2)\) 种，但如果存在原本在同一条边的两个点连边就会不合法。

考虑容斥。记恰跨过一个（选中的）点的边为 关键边，注意到不合法的方案至少包含一条关键边，且不同的关键边方案对应的一定是不同的方案，故可以按关键边数量容斥。

设这条边上有 \(a\) 个顶点（不含两端），\(f_i\) 表示剩下 \(i\) 个顶点（不含两端）的方案数。枚举选中了 \(k\) 个点，插板可得：

\[f_i=\sum\limits_{k=i}^a (-1)^{k-i} \dbinom{a}{k} \dbinom{i+1}{k-i} \]

最后只需要将所有 \(F_a(x)\) 乘起来再乘上对应的卡特兰数统计答案即可。接下来考虑如何快速计算 \(F_a(x)\)。

\[f_i=[x^{a-i}] \sum\limits_{k=i}^{a} \dbinom{a}{k} x^{a-k} \dbinom{i+1}{k-i} (-x)^{k-i} \]

\[f_i=[x^{a-i}] (1+x)^a (1-x)^{i+1} \]

记 \(G_k(x)=(1+x)^a (1-x)^k\)。注意到 \(G_k(x)\) 是 D-finite 的，对其求导：

\[G_k'(x)=G_k(x) (\dfrac{a}{1+x}-\dfrac{k}{1-x}) \]

\[(1-x^2)G_k'(x)=a(1-x)G_k(x)-k(1+x)G_k(x)=(a-k)G_k(x)-(a+k)xG_k(x) \]

\[(i+1)g_{i+1}=(a-k)g_i-(k+a-i+1)g_{i-1} \]

于是记录相邻两项系数，可以 \(O(1)\) 推出前后项。

同时有 \(G_{k+1}(x)=(1-x)G_k(x)\)，故可以推出 \(G_k(x)\) 的三项，再推出 \(G_{k+1}(x)\) 的两项。

类似莫队转移，可以 \(O(a)\) 计算出 \(F_a(x)\)。该部分总时间复杂度 \(O(\sum a_t)\)。

总时间复杂度 \(O(\sum a_t \log^2 \sum a_t)\)。

LOJ3397「2020-2021 集训队作业」春天，在积雪下结一成形，抽枝发芽

析合树的构成具有以下性质：

• 析点的儿子全为合点。

• 合点的合点儿子必须反向。

设有 \(i\) 个叶子节点，根节点为析点的菊花形析合树的数量为 \(f_i\)，根节点为合点的数量的析合树数量为 \(2g_i\)（即只统计单调上升），排列的生成函数为 \(H(x)\)（无常数项）。

由上述性质，对应到生成函数上即为：

\[G(x)=\sum\limits_{i \geq 2} (H(x)-G(x))^i=\dfrac{1}{1-H(x)+G(x)}-1-H(x)+G(x) \]

\[F(H(x))=H(x)-2G(x)-x \]

由第一条式子，

\[(1+H(x))(1-H(x)+G(x))=1 \]

\[G(x)=\dfrac{H^2(x)}{1+H(x)} \]

设 \(R(x)\) 为 \(H(x)\) 的复合逆，代入得 \(G(H(x))=\dfrac{x^2}{1+x}\)。再代入第二条式子：

\[F(x)=x-\dfrac{x^2}{1+x}-R(x) \]

于是只需计算 \(R(x)\) 即可。

同 LOJ2554「CTSC2018」青蕈领主，使用分治 NTT，时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

CF1691F K-Set Tree (2500)

拆贡献，考虑在以 \(r\) 为根时 \(x\) 没有贡献当且仅当将 \(r\) 到 \(u\) 的链删掉后，所有选出的点都在剩下的一棵子树内。算出方案数后用总数减掉即为答案。

不换根。若枚举每个 \(x\) 难以统计删链后的子树信息，直接考虑每棵子树的贡献。下面设 \(fa\) 为 \(u\) 的父亲，有两种情况：

• 以 \(u\) 为根的子树，则要求链经过 \(fa\) 且不经过 \(u\)。不合法的情况即为 \(x\) 和 \(r\) 都在以 \(fa\) 为根的同一棵子树内（且不在以 \(u\) 为根的子树内）。

• 以 \(u\) 为根的子树补，则要求链经过 \(u\) 且不经过 \(fa\)。不合法的情况即为 \(x\) 和 \(r\) 都在以 \(u\) 为根的同一棵子树内（且不在以 \(u\) 为根的子树补内）。

预处理每个点的子树大小 \(siz_u\) 及 \(f_u\) 表示删掉 \(u\) 后在剩下的某棵子树内选 \(k\) 个点的方案数。则容易计算上述方案数，总时间复杂度 \(O(n)\)。

CF1667E Centroid Probabilities (3000)

设点 \(k\) 子树大小超过 \((n-1)/2\) 的方案数为 \(f_k\)。由于重心是唯一的，故点 \(k\) 为重心的方案数为 \((n-1)!-f_k-\sum\limits_{i=k+1}^n \dfrac{1}{i-1} f_i\)。只需要快速计算 \(f_k\) 即可。

枚举 \(f_k\) 的子树大小为 \(i\)，有：

\[f_k=(k-1)! \sum\limits_{i=(n+1)/2}^{n-k} \dbinom{n-k}{i-1} (i-1)! \dfrac{(n-i-1)!}{(k-2)!}=\dfrac{(n-k)!}{k-2} \sum\limits_{i=(n+1)/2}^{n-k} \dfrac{(n-i-1)!}{(n-k-i+1)!} \]

\[f_k=\dfrac{(n-k)!}{k-2} \sum\limits_{i=(n+1)/2}^{n-k} (n-i-1)^{\underline{k-2}} \]

而后面这个东西就是有限积分（或叫整数裂项），可以这样算：

\[\sum\limits_{i=k}^n i^{\underline k}=\dfrac{1}{k} (n+1)^{\underline k} \]

总时间复杂度 \(O(n)\)。

CF1672G Cross Xor (3200)

首先肯定要分析能被操作到的矩阵的性质。

将所有合法矩阵写成 \(nm\) 维的向量，构成线性空间 \(M\)。

记在初始网格上操作 \((x,y)\) 后得到的向量为 \(P_{x,y}\)，显然 \(M\) 中元素都可以由 \(\{P_{x,y}\}\) 线性组合出，但仍难以分析。

考虑 \(M\) 的正交补空间 \(M^{\perp}\)。注意到 \(P_{x_1,y_1} \oplus P_{x_1,y_2} \oplus P_{x_2,y_1} \oplus P_{x_2,y_2} \in M\)，其影响是只将 \((x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_1),(x_2,y_2)\) 反转，故若 \(u \in M^{\perp}\)，则：

\[\forall x_1,x_2,y_1,y_2, u_{x_1,y_1} \oplus u_{x_1,y_2} \oplus u_{x_2,y_1} \oplus u_{x_2,y_2}=0 \]

也就是说，若固定两行 \(x_1,x_2\)，则 \(\forall y_1,y_2,u_{x_1,y_1} \oplus u_{x_2,y_1} = u_{x_1,y_2} \oplus u_{x_2,y_2}\)，即存在常数 \(c\) 使 \(u_{x_2,y}=u_{x_1,y} \oplus c\)。进一步可知这等价于存在 \(n\) 维向量 \(A\) 及 \(m\) 维向量 \(B\) 使得 \(u_{x,y}=A_x \oplus B_y\)。

考虑如何判断 \((A,B)\) 生成的 \(u\) 是否合法。由于 \(M\) 中元素都可以由 \(\{P_{x,y}\}\) 线性组合出，只需要判断 \(u\) 是否与所有 \(P_{x,y}\) 垂直即可。即：

\[\forall x,y,u \cdot P_x,y=(\oplus A_i) \oplus (\oplus B_i) \oplus (m-1)A_x \oplus (n-1)B_y=0 \]

显然与 \(n,m\) 的奇偶性有关，分情况讨论：

• \(n,m\) 均为偶数：条件变为 \(A_x \oplus B_y=(\oplus A_i) \oplus (\oplus B_i)\)。

  故 \(A_x,B_y\) 都是常数且相等，生成的 \(u\) 每一位都为 \(0\)。

  即所有方案合法。

• \(n\) 为偶数，\(m\) 为奇数：条件变为 \(B_y=(\oplus A_i) \oplus (\oplus B_i)\)。

  故 \(B_y\) 是常数且 \(\oplus A_i=0\)。生成的 \(u\) 每一行的元素都相同。考虑 \(v \in M\)，若将 \(u\) 中某全 \(1\) 行与某全 \(0\) 行互换，那么 \(v\) 中这两行的异或和必须相同。进一步得到 \(v\) 合法当且仅当每一行的异或和相同。

  即每一行的异或和相同的方案合法。

• \(n\) 为奇数，\(m\) 为偶数：每一列的异或和相同的方案合法。

• \(n,m\) 均为奇数：条件变为 \((\oplus A_i) \oplus (\oplus B_i)=0\)。

  同上面的分析，\(v\) 合法当且仅当每一行每一列的异或和相同。

  即每一行每一列的异或和相同的方案合法。

---

考虑计数。

• \(n,m\) 均为偶数：答案为 \(2^{\#_{?}}\)。

• \(n\) 为偶数，\(m\) 为奇数：枚举每一行的异或和。若该行没有 \(?\) 则异或和已经确定，否则若有 \(c\) 个 \(?\) 则方案数为 \(2^{c-1}\)。

• \(n,m\) 均为奇数：先枚举每一行每一列的异或和。一个元素会影响到一行及一列，可以考虑将行列看作点，元素看作边建图。

  先统计每一行每一列与目标状态的异或和作为权值。对于每一个联通块，若所有点权值异或和不为 \(0\) 则无解（连边不改变奇偶性），否则若有 \(V\) 个点 \(E\) 条边则方案数为 \(2^{E-V+1}\)（这是因为随意求出一棵生成树并确定非树边情况后，树边情况是唯一的）。

时间复杂度 \(O(nm)\)。

UOJ683 【UR #22】月球车站

记 \(0\) 表示反面，\(1\) 表示正面，\(c_x\) 表示状态 \(x\) 的第一个硬币，\(tr_{x,1},tr_{x,0}\) 分别表示 \(x\) 选择是否反转的后继状态。则可以列出经典期望 DP：

\[f_x=1+pf_{tr_{x,1}}+(1-p)f_{tr_0},c_x=0 \]

\[f_x=1+\max\{f_{tr_{x,0}},f_{tr_{x,1}}\},c_x=1 \]

这东西成环还带 \(\max\)，不是很可做。

---

分析性质尝试把环和 \(\max\) 去掉。假设伏特采用最优策略使步数尽可能少，即 \(f_x=1+\min\{f_{tr_{x,0}},f_{tr_{x,1}}\},c_x=0\)。

类似 Dijkstra 从终止状态倒推。设当前考虑状态 \(u\)，\(u\) 能转移到的两个状态分别为 \(x,y\)（其中 \(c_x=0,c_y=1\) 且它们除了第一个硬币外都相同）。

若 \(x\) 是第一次被访问到，则可以直接转移（伏特希望步数尽可能少）；若 \(y\) 是第二次被访问到，那么只能转移（\(y\) 第一次访问不会被转移，而每个点只会转移到两个状态，第二次转移即为较大的那个）。

又注意到 \(x\) 和 \(y\) 除了第一个硬币外都相同，它们被访问到的次数是相同的，故每次拓展恰有一个状态被转移。也即转移形成一条链。

这里有一个不严谨之处：初始状态（即全为正面）无法作为第二次转移的 \(y\)，从而导致提前终止，某些状态没有被转移到。下面证明所有情况伏特都能使游戏在有限步内结束：

证明：称 \(n\) 次操作为一回合。在每一回合内，伏特先始终翻转，如果 skip 蚤始终不翻转，这一回合后就会结束；否则，在 skip 蚤第一次翻转后伏特将策略改为始终不翻转，这样一回合后状态倒序的字典序都会严格减小，于是游戏能在有限次操作内结束。

---

回到原问题，先将所有状态按照链上顺序编号（\(f_i\) 的编号也对应改变）。伏特每次操作会从 \(u\) 跳到 \(u-1\) 或 \(x>u-1\)，skip 蚤每次操作会从 \(u\) 跳到 \(u-1\) 或 \(x<u-1\)。

环差不多已经去掉了，考虑去 \(\max\)，有结论：\(f_i\) 单调递增。

证明：若 \(x<y,f_x>f_y\)，skip 蚤从 \(y\) 到 \(x\) 过程中每次都从 \(u\) 跳到 \(u-1\)，第一次到达 \(x\) 后按 \(f_x\) 最优策略走。这个策略的步数 \(f_y'>f_x>f_y\)，与 \(f_y\) 的最大性矛盾。

于是去掉了 \(\max\)。现在转移形如 \(u \rightarrow u-1\) 或 \(u \rightarrow x,x>u-1\)。同 P6835 [Cnoi2020]线形生物，将状态改为 \(u\) 到 \(u-1\) 的期望步数即可线性解决。

\(p=0\) 或 \(p=1\) 时可能无解，需要特判。

时间复杂度 \(O(2^n)\)。

CF1603F October 18, 2017 (2700)

《2700》

显然只关心 \(x\) 是否为 \(0\)，因为若 \(x>0\) 可以通过变换基底化为同种情况。

• \(x=0\) 时，即要求 \(n\) 个向量线性无关，方案数即 \(\prod\limits_{i=0}^{n-1} (2^k-2^i)\)。

• \(x>0\) 时，枚举维度为 \(r\)。

先计算基底的数量。要求不能线性组合出 \(x\) 的限制比较难处理，考虑用总数减去反面。

可以从整体考虑：一组基底共可以组合出 \(2^r-1\) 个非零向量，而所有 \(2^k-1\) 个非零向量出现的概率是均等的，故能组合出 \(x\) 的基底数量即为：

\[\dfrac{2^r-1}{2^k-1} \prod\limits_{i=0}^{r-1} (2^k-2^i)=(2^r-1) \prod\limits_{i=1}^{r-1} (2^k-2^i) \]

于是不能组合出 \(x\) 的基底数量为：

\[\prod\limits_{i=0}^{r-1} (2^k-2^i)-(2^r-1) \prod\limits_{i=1}^{r-1} (2^k-2^i)=(2^k-2^r)\prod\limits_{i=1}^{r-1} (2^k-2^i)=\prod\limits_{i=1}^{r} (2^k-2^i) \]

还要计算剩下 \(n-r\) 个元素的数量。同 ARC133F Many Xor Optimization Problems，写出生成函数：

\[[x^{n-r}] \prod\limits_{i=0}^{r} \dfrac{1}{1-2^ix}=\dbinom{n}{r}_2 \]

于是答案即为：

\[Ans=\sum\limits_{r=0}^n \dbinom{n}{r}_2 \prod\limits_{i=1}^{r} (2^k-2^i) \]

预处理后即可 \(O(\min(n,k))\) 计算。

P7213 [JOISC2020] 最古の遺跡 3

容易发现原过程等价于以下过程：

从大到小枚举每个 \(i\)，不断进行：若存在 \(j>i\) 使 \(a_j=a_i\) 则令 \(a_i \leftarrow a_i-1\)。

那么也等价于以下过程：

维护一个桶 \(\{b_i\}\)，从后往前考虑每个 \(a_i\)，找到最大的数 \(x \leq a_i\) 使得 \(b_x=0\)，如果 \(x>0\) 则令 \(b_x=1\)。

先认为 \(2n\) 个数互相区分，最后再除以 \(2^n\) 即可。将从后往前改为从前往后，本质不变。

考虑维护数组 \(\{c_i\}\)，\(c_i\) 表示剩下的数中填入后会变成 \(i\) 的数字数量。每次操作为以下两种之一：

• 选中一个 \(k>0\)，找到最大的 \(x \leq k\) 使得 \(c_x \neq 0\)（如果找不到则 \(x=0\)），然后令 \(c_x \leftarrow c_x+c_k-1,c_k \leftarrow 0\)。（对应石柱最后变为 \(k\)）

• 如果 \(c_0>0\)，可以令 \(c_0 \leftarrow c_0-1\)。（对应石柱消失）

那么记 \(dp_{i,j}\) 表示填了 \(i\) 个数，\(c_1,\cdots,c_j =0\) 且 \(c_{j+1} \neq 0\) 的方案数。

转移考虑：

• \(k \neq j+1\) 时，算做一个无用步数，转移系数为 \(1\)（可以用 \(i\) 和 \(j\) 可以算出 \(c_0\)）。

• \(k=j+1\) 时，枚举之前已经填好了 \(j+2 \sim t\)，那么从前面的无用步数（设为 \(d\)，也可以用 \(i\) 和 \(j\) 算出）中取出 \(t-j-1\) 步用来填 \(j+2 \sim t\)（假设方案数是 \(pre_{t-j-1}\)），那么可以得到转移系数为 \(\dbinom{d}{t-j-1} pre_{t-j-1} (t-j+1)\)。

注意到 \(pre_i\) 相当于没有石柱消失的方案数，再做一次 DP 预处理出来即可。

总时间复杂度 \(O(n^3)\)。

事实上转移式就是个卷积式，可以 NTT 优化到 \(O(n^2 \log n)\)。

LOJ3394 「2020-2021 集训队作业」Tour

先考虑 \(a_i \geq 0\) 的情况。考虑以下算法：

• 维护可重集 \(S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 与变量 \(s\) 表示能放的位置数量。

• 不断执行以下操作：令 \(ans \leftarrow ans \cdot s=1\)，记 \(x,y\) 分别为 \(S\) 中最小值与最大值。

  • 若 \(xy \leq w\)，则 \(x\) 与之后填的任何数均可以相邻。从可重集中删掉 \(x\)，并令 \(s \leftarrow s+1\)（用掉一个位置，新增两个位置）。

  • 若 \(xy > w\)，则 \(y\) 与之后填的任何数均不能相邻。从可重集中删掉 \(y\)，并令 \(s \leftarrow s-1\)（用掉一个位置）。

时间复杂度 \(O(n)\)。

回到原题目，只需要考虑每个极长连续符号相同段。求出将自然数/负数填进 \(k\) 段的方案数 \(f_i/g_i\)，答案即为 \(\sum\limits_{i=0}^{\min(n,m)} (2f_ig_i+f_ig_{i-1}+f_{i-1}g_i)\)。

以自然数为例。记上述算法中 \(s-1\) 的值依次为 \(p_0,p_1,p_2,\cdots,p_n\)，有：

\[f_t=\prod\limits_{i=0}^{n-1} (t+p_i) \]

可以直接分治乘再多点求值做，常数很大。

更好的做法是分治下降幂卷积，下降幂多项式容易转成点值。

总时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)，常数较大。

P8554 心跳

组合对象符号化板题

%%%粉兔

考虑序列中所有前缀最大值 \(x_1,x_2,\cdots,x_k\)，以它们为左端点将原序列划分为 \(k\) 段。

考虑每一段 \([l,r]\) 内的 \(a_i\) 取值，显然 \(a_{l+1}=\cdots=a_r=k\)，而对于 \(a_l\) 有结论：

总可以通过排列 \(p_{l+1},\cdots,p_r\)，使得 \(a_l\) 取到 \([k,k+r-l]\) 的所有值。如果 \(l > 1\)，还可取到 \(k-1\)。

记 \(b_i=a_i-k\)，那么每一段一定是 \([-1],[0,0],[1,0,0],\cdots\) 中的一个接若干个 \(0\)。

注意到不同的 \(\{b_i\}\) 一定对应不同 \(\{a_i\}\)，下面考虑计数 \((\{b_i\},k)\)。

考虑对某个 \(\{b_i\}\)，\(k\) 的取值为连续区间 \([L,R]\)。设 \(h_{n,i}\) 表示 \(k\) 能取到 \(i\) 的 \(\{b_i\}\) 数量。下面求 \(f_{n,i},g_{n,i}\) 分别表示 \(L=i\) 或 \(R=i\) 的 \(\{b_i\}\) 个数。则有 \(h_{n,i}=\sum\limits_{j=1}^i f_{n,j}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} g_{n,j}\)。

......

TopCoder 14563S RM717 Div1B DerangementsStrikeBack

先考虑如何计算错排数。

无自环环排列的指数型生成函数是：

\[F(x)=\sum\limits_{i \geq 2} (i-1)! \dfrac{x^i}{i!}=-\ln(1-x)-x \]

那么错排即无自环环排列的自由组合，即：

\[G(x)=\exp{F(x)}=\dfrac{e^{-x}}{1-x} \]

是 D-finite 的，可以化成整式递推 \(O(n)\) 计算。

回到原问题，设现在计算 \(k\) 的答案。考虑先填 \(1 \sim k\) 的数，那么剩下的数可以随意填，方案数即 \(n!\)。

若由每个 \(i\) 向 \(p_i(p_i \leq k)\) 连边，那么会形成若干形如 \(v_1>k,v_2 \leq k,\cdots,v_m \leq k\) 的链即若干非自环的环。考虑按以下方式计数：

• 对于每个 \(i > k\)，选择集合 \(S_i \in \{1,\cdots,k\}\)。所有 \(S_i\) 两两不交。

• 对于每个 \(i > k\)，安排 \(S_i\) 中元素的顺序以形成一条链，方案数为 \(|S_i|!\)。

• 对于不在任何 \(S_i\) 中出现的元素 \(t \leq k\)，形成错排，方案数为 \(D_{n-\sum_{i=k+1}^n |S_i|}\)。

写成生成函数即：

\[H(x)=(\sum\limits_{i \geq 0} i! \dfrac{x^i}{i!})^n G(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1-x)^{n+1}} \]

也是 D-finite 的，可以化成整式递推：

\[H'(x)=\dfrac{n+x}{1-x} H(x) \]

\[h_k=\dfrac{(n+k-1)h_k+h_{k-1}}{k} \]

总时间复杂度 \(O(m)\)。

*可能更快(dai)速(shu)的做法：容斥后再写成生成函数。

2020ICPC 济南 H Path Killer

类似 ABC242Ex Random Painting，停时期望等于所有非法状态 出现的概率 乘上 离开该状态期望时间 的和。

只需要对每个 \(k\) 求出选中 \(k\) 个点没有覆盖所有路径的方案数即可，容斥变为覆盖所有路径的方案数。

设 \(f_{u,i,j}\) 表示考虑 \(u\) 的子树，还未覆盖的路径向上延申的长度为 \(i\)，已经选了 \(j\) 个点的方案数。先树形依赖背包合并，再枚举当前点是否选转移。

暴力转移复杂度 \(O(n^5)\)。注意到第二维是 \(\min\) 卷积，第三维是树形依赖背包，故可优化至 \(O(n^3)\)。

*使用 Min-Max 容斥可以做到同样复杂度，虽然一般这两种方法貌似不能同时使用。

SPOJ-RNG Random Number Generator | HDU6309 Absolute

对于定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(f(x),g(x)\)，定义连续卷积为定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(h(x)\)，对所有 \(x \in \mathbb{R}\) 满足：

\[h(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) dt \]

若 \(f(x),g(x)\) 均为分段函数且每一段为低次多项式，可以考虑这样求解：

枚举 \(f(x)\) 中的每一段 \(\forall x \in [l,r],f(x)=F(x)\)，\(g(x)\) 中的每一段 \(\forall x \in [L,R],g(x)=G(x)\)，其中 \(F(x),G(x)\) 分别为 \(d1,d2\) 次多项式。

下面假设 \(r+L \leq l+R\)，否则交换 \(F(x),G(x)\)。

计算二元多项式 \(s(t,x)=f(t)g(x-t)\)，关于 \(t\) 求 \(s(t,x)\) 的不定积分 \(S(t,x)=\int s(t,x) dt+C\)。

对于某个 \(x\)，\(t\) 需要满足 \(l \leq t \leq r \wedge L \leq x-t \leq R\)。对 \(t\) 的取值区间进行分类讨论：

• 当 \(x \in [l+L,r+L]\) 时，\(t \in [l,x-L]\)，故 \(h(x)=S(x-L,x)-S(l,x)\)。
• 当 \(x \in [r+L,l+R]\) 时，\(t \in [l,r]\)，故 \(h(x)=S(r,x)-S(l,x)\)。
• 当 \(x \in [l+R,r+R]\) 时，\(t \in [x-R,r]\)，故 \(h(x)=S(r,x)-S(x-R,x)\)。

以上所有操作均可以在 \(O((d1+d2)^3)\) 时间内完成，同时注意到若设 \(f(x)\) 共 \(n\) 段，\(g(x)\) 共 \(m\) 段，则分段端点至多只有 \((n-1)(m-1)\) 个。故可以利用差分与前缀和在 \(O(nm(d1+d2)^3)\) 内计算 \(h(x)\)。

注意到 \(h(x)\) 内每一段的次数不高于 \(d1+d2+1\)，故若计算 \(n\) 个函数 \(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)\) 的连续卷积，设其次数分别为 \(d_1,d_2,\cdots,d_n\)，段数分别为 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\)，则可以在 \(O(\prod (k_i+1) (\sum d_i+n)^3)\) 内计算其连续卷积。

直接计算 \(n\) 个 \(0\) 次多项式的连续卷积 \(h(x)\)（即答案的概率密度函数）。

对于 RNG，对 \(h(x)\) 每一段 \([A,B]\) 内的部分进行积分求和即可。

对于 ABS，对 \(h(x)\) 每一段乘上 \(x\) 再积分求和即可。

总时间复杂度 \(O(n^3 2^n)\)。

QOJ5031 2022集训队互测 核

先考虑如何对某个 \(B\) 求 \(f(B)\)。注意到 \(A\) 的每一行相互独立，设 \(A\) 中某一行为向量 \(\bold{a}\)，则 \(\bold{a}\) 需要满足：

\[\bold{a} B=\bold{a} \]

即 \(\bold{a}\) 为 \(B\) 的特征值为 \(1\) 对应的特征向量。那么设 \(B\) 特征值为 \(1\) 对应的特征子空间 \(V_1\) 维数为 \(d\)，则 \(\bold{a}\) 的方案数为 \(q^d\)。

下面对每个 \(k \in [0,n]\) 求出 \(V_1\) 维数为 \(k\) 的矩阵（或视为线性变换）\(B\) 个数 \(f_k\)。

考虑容斥，设钦定 \(V_1\) 至少 \(k\) 维的矩阵 \(B\) 个数为 \(g_k\)，于是有：

\[g_k=\sum\limits_{i=k}^n \dbinom{i}{k}_q f_i \]

这是因为考虑 \(f_i\) 对 \(g_k\) 的贡献，相当于在 \(k\) 维空间中选出 \(i\) 维子空间，方案数为 \(\dbinom{i}{k}_q\)。

考虑如何计算 \(g_k\)，先从 \(n\) 维空间中选出 \(k\) 维空间钦定为特征子空间（这 \(k\) 维的线性变换就确定了），方案数为 \(\dbinom{n}{k}_q\)；再对剩下的 \(n-k\) 维确定一个满秩的线性变换，方案数为 \(\prod\limits_{i=k}^{n-1} (q^n-q^i)\)。于是：

\[g_k=\dbinom{n}{k}_q \prod\limits_{i=k}^{n-1} (q^n-q^i) \]

由子空间反演，得：

\[\begin{aligned} f_k &=\sum\limits_{i=k}^n (-1)^{i-k} q^{\binom{i-k}{2}} \dbinom{i}{k}_q g_i\\ &=\sum\limits_{i=k}^n (-1)^{i-k} q^{\binom{i-k}{2}} \dbinom{i}{k}_q \dbinom{n}{i}_q \prod\limits_{t=i}^{n-1} (q^n-q^t)\\ &=\sum\limits_{i=k}^n (-1)^{i-k} q^{\binom{i-k}{2}} \dbinom{n}{k}_q \dbinom{n-k}{i-k}_q \prod\limits_{t=i}^{n-1} (q^n-q^t)\\ &=\dbinom{n}{k}_q \sum\limits_{i=0}^{n-k} (-1)^{i} q^{\binom{i}{2}} \dbinom{n-k}{i}_q \prod\limits_{t=i+k}^{n-1} (q^n-q^t)\\ &=\dbinom{n}{k}_q \sum\limits_{i=0}^{n-k} (-1)^{n-k} q^{\binom{i}{2}} \dbinom{n-k}{i}_q q^{\binom{n}{2}-\binom{i+k}{2}} (q;q)_{n-i-k}\\ &=\dbinom{n}{k}_q (-1)^{n-k} (q;q)_{n-k} q^{\binom{n}{2}-\binom{k}{2}} \sum\limits_{i=0}^{n-k} q^{-ik} \dfrac{1}{(q;q)_i}\\ \end{aligned} \]

记 \(h_k=\sum\limits_{i=0}^{k} q^{-(n-k)i} \dfrac{1}{(q;q)_i}\)，考虑 \(h_{k+1}\)：

\[\begin{aligned} h_{k+1} &=\sum\limits_{i=0}^{k+1} q^{-(n-k-1)i} \dfrac{1}{(q;q)_i}\\ &=\sum\limits_{i=0}^{k+1} q^{-(n-k)i} \dfrac{1}{(q;q)_i} [1-(1-q^i)]\\ &=\sum\limits_{i=0}^{k+1} q^{-(n-k)i} \dfrac{1}{(q;q)_i} - \sum\limits_{i=1}^{k+1} q^{-(n-k)i} \dfrac{1}{(q;q)_{i-1}}\\ &=h_k+q^{-(n-k)(k+1)} \dfrac{1}{(q;q)_{k+1}}-q^{-(n-k)} h_k\\ &=(1-q^{-(n-k)})h_k+\dfrac{q^{-(n-k)(k+1)}}{(q;q)_{k+1}}\\ \end{aligned} \]

\(h_k\) 可以线性递推，于是可以在 \(O(n)\) 内求出所有 \(f_k\)。

还有一个小问题：如何快速计算 \(\sum\limits_{k=0}^n f_k 3^{q^{kn}}\)？

设 \(B=\lceil \sqrt{mod} \rceil\)，对每个 \(i \in [0,B)\) 预处理出 \(3^i\) 及 \(3^{Bi}\)，计算幂时直接查询即可。

总时间复杂度 \(O(n+\sqrt{mod})\)。