浅谈群论与置换群
2021/5/2 Upd：我之前写的是什么鬼……几乎重写了一遍
Burnside 引理与 Pólya 定理 是群论里的定理
由于本人太弱，理解可能有所偏差 只能感性理解
本文只介绍置换群
1. 定义
1.1 置换群
群是用来解决有对称性的计数问题的，特点比较鲜明
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置换：\([n] \rightarrow [n]\) 的双射，可以用排列 \(p\) 表示将原本第 \(p_i\) 个元素换到第 \(i\) 个位置上（即 \(a_i \leftarrow a_{p_i}\)）。
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置换群：置换和定义在其上的运算 \(\circ\) 的集合，记作 \(G\)，其中的元素记作 \(g\)
\(g=g_1 \circ g_2\) 的意思是先进行一次 \(g_1\)，再进行一次 \(g_2\)，效果与 \(g\) 等价
- 置换作用的对象是长度为 \(n\) 的序列的一种染色方案，记作 \(x\)；所有研究的染色方案的集合记作 \(X\)
比如：
作用在 \([2,1,3,2]\) 上就会变成 \([1,2,2,3]\)
对于 \(X\) 没有太强的要求（但必须在群 \(G\) 作用下封闭），但并不是任意一个置换的集合都能被叫做群的。它要满足以下性质：
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满足封闭性，即 \(\forall a_i,a_j \in A_n , a_i \circ a_j \in A_n\)
比较重要，保证了运算一定不会超出 \(A_n\)
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满足结合律，即 \(\forall a_i,a_j,a_k \in A_n,(a_i \circ a_j)*a_k=a_i\circ (a_j \circ a_k)\)
显然是满足的
注意：不一定满足交换律（这一点和矩阵乘法很相似）
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存在单位元 \(e\) ，满足 \(\forall a_i \in A_n , a_i \circ e =e \circ a_i=a_i\)
其实就是不动嘛
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存在逆元 \(a_i^{-1}\) ，满足 \(\forall a_i \in A_n , a_i \circ a_i^{-1} =e\)
1.2 不动点与等价类
有了基本的定义，让我们来定义更多的东西
- 等价：\(x_1\) 与 \(x_2\) 等价，当且仅当 \(\exist g \in G,g \cdot x_1=x_2\)
当然有 \(g^{-1} \cdot x_2=x_1\)，并且等价具有传递性
因此可以想象一下，整个 \(X\) 会被划分成许多等价类
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等价类 / 轨道：\(G \cdot x=\{g \cdot x|g \in G\}\)，下文中记作 \(\overline{x}\)
\(X/G=\{G \cdot x|x \in X\}\) （集合的集合？我是这么理解的）
\(|X/G|\) 就是所有的轨道个数
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不动点：\(X^g=\{x \in X|g \cdot x =x\}\)
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稳定子群 / 稳定化子：\(G_x=\{g \in G|g \cdot x =x\}\)
2. 定理
2.1 轨道-稳定子群定理
不会证明
2.2 Burnside 引理
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普通版：
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\[|X/G|=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} X^g \]
轨道个数是所有置换不动点数量的平均数
证明一会儿再说
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元素带权版：
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\[\sum\limits_{x \in X} \dfrac{w_x}{|\overline{x}|} =\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} w(X^g) \]
给每个元素 \(x\) 赋一个权值 \(w(x)\)，其中 \(w(X^g)=\sum\limits_{x \in X^g} w(x)\)
左边的意思就是每个轨道拎一个代表算（因为每个轨道里所有元素的权值都是一样的）
证明还是一会儿再说
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元素置换带权版：
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\[\sum\limits_{x \in X} w_x w(G_x) =\sum\limits_{g \in G} w_g w(X^g) \]
给每个置换 \(g\) 赋一个权值 \(w(g)\)，其中 \(w(G_x)=\sum\limits_{g \in G_x} w(g)\)
证明出乎意料的简单：
\[\begin{aligned} \sum\limits_{x \in X} w_x w(G_x) & =\sum\limits_{x \in X} w_x \sum\limits_{g \in G_x} w_g\\ & =\sum\limits_{g \cdot x=x} w_x w_g\\ & =\sum\limits_{g \in G} w_g \sum\limits_{x \in X^g} w_x\\ & =\sum\limits_{g \in G} w_gw(X^g) \end{aligned} \]那么尝试去证明一下上面的两个：
令 \(w_g=\dfrac{1}{|G|}\) ，则 \(w(G_x)=\dfrac{G_x}{|G|}=\dfrac{1}{|\overline{x}|}\)
非常轻松~
3. 问题
2.1 问题
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用 \(m\) 种颜色的珠子串成一个长度为 \(n\) 的环，求不同的环的个数。
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其中通过旋转可以变为相同的两个环视作同一个环。
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\(T \leq 1000,n,m \leq 10^9\)
2.1 分析
这里的群显然就是转 \(i(0 \leq i < n)\) 次，满足上面的定义
由 Burnside 引理，\(|X/G|=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} X^g\)
只要算出每个置换的不动点数量就好了
2.2 Pólya 定理
咋读啊
刚刚也说过了，这俩定理本质上是一个东西
现在问题是对于每种置换不好求不动点数量
怎么样就好求了呢？
不妨考虑换一种表示方法：
现在表示成：
意思就是，1 换到 4 , 4 换到 3 , 3 换到 2 , 2 换到 5 , 5 换到 1
其实就是个循环
那对于任意的一个置换，其实都可以表示成若干个循环的乘积（大家都叫它乘积……）
比如：
现在可以表示成：
如果你做过 [无聊的军官] 这道题的话，应该很好理解
回到这道题，我们现在是对于一个置换，求不变的环的数量
首先回到第一种置换，就是以珠子为零件的置换
换成这种表示方法
显然同一个循环里的珠子必须是同色的！
假设有 \(c(a_i)\) 个循环，那贡献就是 \(m^{c(a_i)}\)
2.3 数论
\(O(Tn^2)\) 啦，还是不能通过
来考虑一下，如果一次转 \(k\) 下，那转 \(\dfrac{lcm(n,k)}{k}\) 下就能回到原位，这也就是循环节的长度
所以共有 \(\dfrac{nk}{lcm(n,k)}=gcd(n,k)\) 个循环节！
现在优化成 \(O(Tnlogn)\) 了，仍然不能通过……
\(ans=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n m^{gcd(n,i)}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{d|n} m^d\sum\limits_{i=1}^n [gcd(n,i)=d]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{d|n} m^d \varphi(\dfrac{n}{d})\)
枚举因数和欧拉函数暴力计算都是 \(O(\sqrt{n})\) 的
所以总共 \(O(Tn^{\frac{3}{4}})\)
4. 练习
推荐一个题单 【群论】置换群&Polya定理
我转存并补充的版本 转存的 【群论】置换群&Polya定理
Burnside 引理模板，暴力枚举置换，再带上点组合数来转移
Necklace 可能会爆 long long ……还是那个传统艺能，模上 \(9223372036854775783(2^{63}-25)\)
Pólya 定理模板，需要补充置换与找规律
很有意思的题
发现其实就是求矩阵转置的置换的循环个数
而矩阵转置的置换其实是把二进制循环左移 \(a\) 位（或右移 \(b\) 位）
把每个数看成一个长度为 \(a+b\) 的环，珠子只有 \(0\) 和 \(1\) 两种颜色
就转化成 Pólya 定理板子了
优化……我不会（悲
很经典的题
考虑每个点的置换，边的不动点个数
分为两类：
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- 循环内的边
长度相同的边必须为同色边
共 \(m^{\lfloor\frac{b_i}{2}\rfloor}\) 的贡献
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- 两个循环间的边
置换 \(lcm(b_i,b_j)\) 次后会回到初始状态
所以循环节一共 \(\dfrac{b_ib_j}{lcm(b_i,b_j)}=gcd(b_i,b_j)\) 个
不能枚举所有置换，转化成枚举 \(b\)
再添上几个组合数……
讲得太含糊了直接去看题解吧
Burnside 引理+生成函数
（烷基计数是这两题的基础）
化学+信息梦幻联动
Burnside 引理+生成函数+多项式技术
详细的解释放在生成函数里：Re：从零开始的生成函数魔法
（这……真的没办法解释了）
要用到带权的 Burnside，感兴趣的可以去看看
灵活应用了多种知识，是道好好好好题！
（完）
