求本质不同的子序列数量
如何求 \(s\) 的本质不同的子序列数量？
设字符集大小为 \(siz\)
法一
设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个字符的答案
\[f_i=
\begin{cases}
f_{i-1}+f_{i-1}+1,s_i \text{第一次出现}\\
f_{i-1}+f_{i-1}-f_{x-1},s_i \text{上一次出现在}x
\end{cases}
\]
- 考虑不选：\(f_{i-1}\)
- 选：\(f_{i-1}-f_{x-1}\) ，避免算重
\(O(nsiz)\)
法二
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个字符，以 \(j\) 结尾的答案
为了去重，要求若 \(s_i=j\) 则必须选 \(i\)
\[f_{i,j}=
\begin{cases}
f_{i-1,j},s_i \neq j\\
\sum\limits_k f_{i-1,k}+1,s_i=j\\
\end{cases}
\]
\(O(nsiz)\)
- 此法可以矩乘优化
显然将对角线染上 1 ，再将第 \(s_i\) 列染上 1 即可
\(O(nsiz^3)\) （反优化）
法三
设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个字符，以 \(j\) 结尾，长度为 \(k\) 的答案
为了去重，要求若 \(s_i=j\) 则必须选 \(i\)
\[f_{i,j,k}=
\begin{cases}
f_{i-1,j,k},s_i \neq j\\
\sum\limits_t f_{i-1,t,k-1}+[k=1],s_i=j\\
\end{cases}
\]
\(O(n^2siz)\)
