一道无聊的题目

我们假设现在有一个节点编号为 \(1\)，一个自然数 \(m\) 表示需要连边的条数。

我们假设这样一个概率函数 \(p(x)\)，表示编号为 \(x\) 的节点对于一个编号小于 \(x\) 的节点 \(y\)，会有 \(p(x)\) 的概率向 \(y\) 连一条指向 \(y\) 的有向边。

当连边数 \(k\) 小于 \(m\) 时，节点 \(x\) 将生成 \(m-k\) 个节点，并顺次编号为 \(x+1,\cdots,x+m-k\)，同时分别向这些节点连上指向它们的有向边。

(1) 令 \(E(x)\) 表示 \(x\) 生成节点数的期望，写出 \(E(x)\) 的一种递推式。（笔者想到的递推式是从满足 \(t>x\) 的 \(E(t)\) 进行递推的，如有更好的表达球球宁教教我）

(2) 笔者认为第一小问中的函数比较复杂且不便于更多的计算，因此给出一个 \(E(x)\) 的估计：

\[E(x)=m-p(x)(x-1)+\int _{x}^{x+m-p(x)(x-1)} E(t) \,\mathrm{d}t \]

后面的问题中，我们将沿用这个估计。

针对此小问，已知 \(E(x)=n-e^{-x}\)，同时已知 \(nm=n-m\)，求 \(g(x)-\ln g(x)\)。

(3) 已知 \(p(x)\) 是一个 \(n\) 阶多项式函数，尝试讨论 \(E(x)\) 的敛散性。（我不会，有无哥们教教我。当然也可以考虑更一般的情况）

(4) 已知 \(p(x)=0\)，且 \(E(x+m)=(m+1)E(x)\)，求 \(E(x)\)。

(5) 已知 \(p(x)=0\)，求 \(E(x)\) 关于 \(x\) 的一个函数方程 \(H(E(x),x)=0\)。（我不会，实话说这个微分方程写出来好像确实平平无奇，但我好像并没有学过类似微分方程的解法，有无哥们教教我）

(6) 已知 \(p(x)\) 及其一阶导数，求 \(E(x)\) 关于 \(p(x),p'(x),x\) 的函数方程 \(H(E(x),p(x),p'(x),x)=0\)。（其实和上面一问差不多吧，反正我不会解）