CF1139D Steps to One

Steps to One

初始给一个空的数列，每次随机从 $[1,m]$ 中选一个整数加入数列末尾，求数列 $gcd=1$ 时的期望长度。

这是一个期望加莫反的很有意思的题目。

首先我们定义 $E(x)$，它表示数列的第一个数为 $x$ 的时候数列的期望长度。其中 $E(1)=1$。

那么我们的答案就是 $\sum _{i=1}^{m}E(x)$。

我们有关于期望的方程：

$$\begin{array}{rl}E(x)=& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i=1}^{m}E(gcd(i,x))\\ =& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{d=1}\sum _{i=1}^{m}E(d)[gcd(i,x)=d]\\ =& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{d=1}E(d)\sum _{i=1}^{\lfloor m/d\rfloor }[gcd(i,{\displaystyle \frac{x}{d}})=1]\\ =& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{d=1}E(d)\sum _{i=1}^{\lfloor m/d\rfloor }\sum _{k\mid i,k\mid x/d}\mu (k)\\ =& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{d=1}E(d)\sum _{k\mid x/d}\mu (k)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{kd}}\rfloor \\ =& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{T\mid x}\sum _{d\mid T}E(d)\mu \left({\displaystyle \frac{T}{d}}\right)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{T}}\rfloor \\ =& 1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{T\mid x}\sum _{d\mid T,d\ne x}E(d)\mu \left({\displaystyle \frac{T}{d}}\right)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{T}}\rfloor +{\displaystyle \frac{\lfloor m/x\rfloor }{m}}E(x)\end{array}$$

现在对方程移项并变换系数，我们得到了 $E(x)$ 的递推式：

$$E(x)={\displaystyle \frac{m}{m-\lfloor m/x\rfloor }}+{\displaystyle \frac{1}{m-\lfloor m/x\rfloor }}\sum _{T\mid x}\sum _{d\mid T,d\ne x}E(d)\mu \left({\displaystyle \frac{T}{d}}\right)\lfloor {\displaystyle \frac{m}{T}}\rfloor$$

这个显然就是 $O(n\ln n)$ 可处理的了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
namespace Ehnaev{
  inline ll read() {
    ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
    while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return ret*f;
  }
  inline void write(ll x) {
    static char buf[22];static ll len=-1;
    if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
    else {putchar(10);do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
    while(len>=0) putchar(buf[len--]);
  }
}using Ehnaev::read;using Ehnaev::write;

const ll mo=1e9+7,N=1e5;

ll m,cnt,ans;
ll e[N+5],mu[N+5],f[N+5],prime[N+5];
vector<ll> dv[N+5];
bool ff[N+5];

inline ll Qpow(ll b,ll p) {
  ll r=1;while(p) {if(p&1) r=r*b%mo;b=b*b%mo;p>>=1;}return r;
}

inline void Init() {
  e[1]=1;ff[1]=1;mu[1]=1;
  for(ll i=2;i<=m;i++) {
    if(!ff[i]) {prime[++cnt]=i;mu[i]=mo-1;}
    for(ll j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=m;j++) {
      ff[i*prime[j]]=1;
      if(i%prime[j]==0) {
        mu[i*prime[j]]=0;break;
      }
      mu[i*prime[j]]=mu[i]*mu[prime[j]]%mo;
    }
  }
  for(ll i=1;i<=m;i++) {f[i]=(f[i]+mu[i])%mo;}
  for(ll i=1;i<=m;i++) {
    for(ll j=i;j<=m;j+=i) {
      dv[j].push_back(i);
    }
  }
}

int main() {

  m=read();Init();

  for(ll i=2;i<=m;i++) {
    e[i]=m;ll tmp=0;
    for(ll j=0;j<dv[i].size();j++) {
      ll t=dv[i][j];
      tmp=(tmp+f[t]*(m/t)%mo)%mo;
    }
    e[i]=(e[i]+tmp)%mo;e[i]=e[i]*Qpow(m-m/i,mo-2)%mo;
    for(ll j=i,cn=1;j<=m;j+=i,cn++) {
      f[j]=(f[j]+e[i]*mu[cn]%mo)%mo;
    }
  }

  ll invm=Qpow(m,mo-2);
  for(ll i=1;i<=m;i++) {ans=(ans+invm*e[i]%mo)%mo;}

  write(ans);

  return 0;
}