P5572 [CmdOI2019]简单的数论题
[CmdOI2019]简单的数论题
题意即求:
其中
此题需要按不同值域分类处理,对复杂度的降低类似分块的想法。
首先推导:
看上去就非常恐怖。
先定义
注意到有 vector
解决掉。处理这部分的复杂度也是
接下来处理中间这个大头。
我们定义:
看起来很奇怪,但是我们可以有:
这里
但是这并没有优化复杂度。
考虑一个数量级
对于
那这样
那对于
最后总的时间复杂度就是
采用根号平衡,算出
最后得到时间复杂度
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll int
using namespace std;
namespace Ehnaev{
inline ll read() {
ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
return ret*f;
}
inline void write(ll x) {
static char buf[22];static ll len=-1;
if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
else {putchar(10);do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
while(len>=0) putchar(buf[len--]);
}
}using Ehnaev::read;using Ehnaev::write;
inline void writeln(ll x) {write(x);putchar(10);}
const ll mo=23333,N=5e4,B=50;
ll T,n,m,ans,cnt;
ll prime[N+5],mu[N+5],phi[N+5];
vector<ll> f[N+5];
ll g[B+5][B+5][N+5];
bool ff[N+5];
inline void Init() {
ff[1]=1;mu[1]=1;phi[1]=1;
for(ll i=2;i<=N;i++) {
if(!ff[i]) {prime[++cnt]=i;mu[i]=mo-1;phi[i]=(i-1)%mo;}
for(ll j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;j++) {
ff[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {
mu[i*prime[j]]=0;
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]%mo;
break;
}
mu[i*prime[j]]=mu[i]*mu[prime[j]]%mo;
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]%mo;
}
}
for(ll i=0;i<=N;i++) f[0].push_back(0);
for(ll i=1;i<=N;i++) f[i].push_back(0);
for(ll i=1;i<=N;i++) {
for(ll j=i,cn=1;j<=N;j+=i,cn++) {
f[cn].push_back((f[cn-1][i]+phi[j])%mo);
}
}
for(ll i=1;i<=B;i++) {
for(ll j=1;j<=B;j++) {
for(ll k=1;k*i<=N&&k*j<=N;k++) {
ll tmp=(mu[k]*f[i][k]%mo)*f[j][k]%mo;
for(ll l=k;l*i<=N&&l*j<=N;l+=k) {
g[i][j][l]=(g[i][j][l]+tmp)%mo;
}
}
}
}
for(ll i=1;i<=B;i++) {
for(ll j=1;j<=B;j++) {
for(ll k=1;k*i<=N&&k*j<=N;k++) {
g[i][j][k]=(g[i][j][k-1]+g[i][j][k])%mo;
}
}
}
// for(ll i=1;i<=3;i++) {
// for(ll j=1;j<=3;j++) {
// for(ll k=1;k<=3;k++) {
// printf("g[%d][%d][%d]=%d\n",i,j,k,g[i][j][k]);
// }
// }
// }
}
int main() {
T=read();Init();
while(T--) {
n=read();m=read();ans=0;
for(ll i=1;i*B<=n;i++) {
for(ll j=i;j*B<=n;j+=i) {
ll tmp=(mu[i]*f[n/j][i]%mo)*f[m/j][i]%mo;
ans=(ans+tmp)%mo;
}
}
for(ll i=n/B+1,j;i<=m;i=j+1) {
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ll tmp=(g[n/i][m/i][j]-g[n/i][m/i][i-1]+mo)%mo;
ans=(ans+tmp)%mo;
}
writeln(ans);
}
return 0;
}
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