对数定律的推导

我们知道韦伯定律：

\[C = \dfrac {\Delta \Phi} {\Phi} \]

其中 \(\Phi\) 为标准刺激的强度或原刺激量，\(\Delta \Phi\) 为引起差别感觉的刺激增量，即最小可觉差（just noticeable difference,JND），也可以叫差别感觉阈限（differential sensory threshold）。这个公式的 \(C\) 是一个常数，被称为韦伯分数，对于不同的感觉来说，\(C\) 的数值不相同。

需要注意的是，韦伯定律仅适用于刺激的中等强度。

对数定律是由韦伯定律推导而来的。

我们定义感觉量 \(\Psi\)，它在刺激量 \(\Phi=a\)，即绝对感觉阈限，的时候为 \(0\)。

我们很自然的会根据 JND 来去想 \(\Psi = 1\) 时的 \(\Phi\) 应该为多少。

很自然的想法，如果我们正好能感受到 \(\Phi\) 与 \(a\) 的差别，\(\Psi = 1\) 是合适的。

根据韦伯定律，这里 \(\Phi = a (1 + C)\)。

那么以此类推，我们很容易得到下面的关系：

\[\Phi = a (1 + C) ^ {\Psi} \]

通过简单的化简就能得到对数定律的基本形式：

\[\Psi = \log _ {(1+C)} \left( \dfrac {\Phi}{a} \right) \]

至于我们常见的对数定律的形式：

\[\Psi = K \lg I \]

这里的 \(I\) 大概是意指 \(\Phi / a\) 的，那么剩下的不过就是换底公式了。

因为韦伯定律仅适用于刺激的中等强度，对数定律同样也仅适用于刺激的中等强度。

对数定律同样也称为费希纳定律。