初赛极限复习

没复习初赛，摆了。

又不想写文化课，还是看初赛吧。

预计一天左右的复习时间，基本梳理完吧。

希望人没逝。

一、积分与导数（无限与有限）

无限积分表常用：

\[\int x ^ {c} \, \mathrm{d} x = x ^ {c+1}/ (c+1) + C \]

\[\int 1/x \, \mathrm{d} x = \ln \left| x \right| + C \]

\[\int \ln x \, \mathrm{d}x = x \ln x - x + C \]

\[\int c^ x \, \mathrm{d} x = c^x/\ln c + C \]

无限导数表常用：

\[\dfrac{\mathrm{d}x^{c}}{\mathrm{d} x } = c x ^ {c-1} \]

\[\dfrac{\mathrm{d} c ^ x}{\mathrm{d}x} = c^x \ln c \]

\[\dfrac {\mathrm{d}\log _ a x}{ \mathrm{d} x } = \dfrac { 1 } {x \ln a} \]

乘法法则，除法法则，复合函数求导：

\[(fg)'=f'g+fg' \]

\[(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 \]

\[(g(f(x)))'= g'(f(x))f'(x) \]

分部积分：

\[\int fg' \,\mathrm{d}x = fg - \int gf'\,\mathrm{d}x \]

有限积分表常用：

\[\sum x ^ {\underline{m}} \,\delta x = \dfrac {x ^ {\underline{m+1}}}{m+1} + C \]

\[\sum c ^ x \,\delta x = \dfrac {c ^ x } {c - 1 } + C \]

\[\sum H _ x \,\delta x= x H _ x - x + C \]

\[\sum x ^ { \underline{-1}} \, \delta x = H _ x + C \]

\[\sum \binom{ x } { n } \,\delta x = \binom { x } { n + 1 } + C \]

有限微分表常用：

\[\Delta( x ^ {\underline{m}}) = m x ^ {\underline { m - 1 }} \]

\[\Delta (H _ x ) = x ^ {\underline{ - 1 }} \]

\[\Delta( c ^ x ) = (c - 1 ) c ^ x \]

\[\Delta \left( \binom { x } { n } \right) = \binom { x } { n - 1 } \]

算子乘法：

\[\Delta (uv) = u \Delta v + \mathrm{E} v \Delta u \]

分部积分：

\[\sum u\Delta v = uv - \sum \mathrm{E} v \Delta u \]

以上内容请务必掌握。

二、主定理

题目练手：

1. \(T(n) = 9 T ( n / 3 ) + \Theta( n )\)

2. \(T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + \Theta ( n )\)

3. $ T ( n ) = T ( n / 2 ) + \Theta ( n )$

4. $ T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + \Theta (n ^ {3 / 2})$

5. $ T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + \Theta ( n \log n )$

6. $ T ( n ) = 3 T ( n / 2 ) + \Theta ( n \log n )$

相信很快就能做完，如果还记得主定理或者会熟练使用积分。

一句话应用主定理：比较 $n ^ {\log _b a } $ 与 \(f(n)\) 的数量级关系，相同就添加一个 \(\log n\)。

使用积分（或者求和，但是限于有限微积分的计算会更加繁琐）来理解，对于每个：

\[T ( n ) = a T (n / b) + f ( n ) \]

其时间复杂度可以这样计算：

\[T ( n ) = O \left (\int _ 0 ^ {\log _ b n } a ^ { x } f\left( \dfrac {n} {b ^ x}\right)\,\mathrm{d} x\right) \]

需要注意的是当 \(a/b^d < 1\) 的时候有关其指数函数的积分一律作为常数处理。

同理，\(a/b^d = 1\) 的时候直接求和即可，$a/b^d > 1 $ 的时候直接积分。

说的再清楚一点就是如果函数积分是小于 1 的一律当作常数处理。

前面四个用主定理很容易解决，答案分别是 \(O(n ^ 2 )\)，\(O( n )\)，\(O(n \log n)\)，\(O(n ^ {3 / 2})\)。

第五个答案是 \(O(n \log ^ 2 n)\)，可以用积分方法来理解。

第六个答案是 \(O(n ^ { \log _ 2 3} \log n)\)，同样可以用积分来理解。

其实经过上面的计算不难发现，如果 \(f ( n ) = n ^ d \log ^ e n\) 的话，数量级只需要用 $ n ^ d $ 来比较即可，\(\log ^ e n\) 的复杂度在使用主定理后直接乘在后面即可。

\(f(n)\) 是指数函数相关的东西这种毒瘤的东西我还是不放了吧，使用积分应该可以解决大部分东西。

三、二项式系数相关恒等式

From Concrete Mathematics P143.

一共十个二项式系数恒等式。

\[\binom { n } { k } = \dfrac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } \]

\[\binom { n } { k } = \binom { n } { n - k } \]

\[\binom { r } { k } = \dfrac { r } { k } \binom { r - 1 } { k - 1 } \]

\[\binom { r } { k } = \binom { r - 1 } { k } + \binom { r - 1 } { k - 1 } \]

\[\binom { r } { k } = ( - 1 ) ^ k \binom { k - r - 1 } { k } \]

\[\binom { r } { m } \binom { m } { k } = \binom { r } { k } \binom { r - k } { m - k } \]

\[\sum _ { k } = \binom { r } { k } x ^ k y ^ { r - k } = ( x + y ) ^ { r } \]

\[\sum _ { k \le n } \binom { r + k } { k } = \binom { r + n + 1 } { n } \]

\[\sum _ { 0 \le k \le n } \binom { k } { m } = \binom { n + 1 } { m + 1 } \]

\[\sum _ { k } \binom { r } { k } \binom { s } { n - k } = \binom { r + s } { n } \]

四、文科式常识记忆

1. 关于码：

   短除法。不讲了。

   ---

   ~x 就是逐位取反。反码的表示是符号位取反，其余再取反。

   补码就是反码加一。

   补码：x = (~ x) + 1

   根据 IEEE 规范，64 位浮点变 32 位浮点的时候，符号位不可更改，尾码和阶码可能改变，导致数值有可能改变。

   ---

   ASCII 码，32 是空格，48 是 0，65 是 A，97 是 a。

2. 计算机历史：

   1946 的 ENIAC，来自美国宾夕法尼亚大学。

   Ada 是第一个程序员，是雪莱的女儿。

   ACM 是美国计算机学会，成立于 1947。

   1956，因对半导体的研究发现了晶体管效应，Shockley，Bardeen 和 Brattain 共享了当年的诺贝尔物理学奖。

   IEEE 是美国电子工程师学会，成立于 1963。

   ACM 在 1966 年设立了图灵奖，华人中仅有姚期智获得了 2000 年的图灵奖。

   1989 第一届 IOI。

   2007 第一届 APIO。

3. CCF 历史：

   CCF 成立于 1962，前身是中国电子学会计算机专业委员会。

   2005 年 CCF 设立王选奖，最初称为 CCF 创新奖。

   1984 年第一届 NOI。

   1995 第一届 NOIP。

4. 什么玩意：

   \[计算机系统\begin{cases}硬件系统 \begin{cases}主机 \begin{cases} CPU \begin{cases} 运算器\\控制器\\寄存器\end{cases} \\\\ 内存\begin{cases} RAM\\ ROM\\ Cache \end{cases}\end{cases}\\\\ 外设 \begin{cases} 输入设备\\ 输出设备 \\ 外存\end{cases}\end{cases}\\\\ 软件系统\begin{cases} 操作系统软件 \begin{cases}操作系统\\编译程序和解释程序\\数据库管理系统\end{cases}\\\\应用软件 \begin{cases}字处理包\\软件包\end{cases}\end{cases}\end{cases} \]
   \[TCP/IP 四层协议\begin{cases}应用层 & Telnet、FTP、E-mail\\ 传输层 & TCP、UDP\\ 网络层 & IP、ICMP、IGMP\\ 网络接口层 & 设备驱动程序及接口卡\end{cases} \]

5. 乱编：

   Web1.0->2.0 指的是获取信息到用户交互。

   没有 IP 怎么可能能上网？

   MPEG，AVI，RM，WMV 都是视频！！！！

   TIFF 是图片！！！！

   GBK 是老版的中文编码，占用 2Byte。现在主要用 UTF，占用 3Byte。Unicode 是另外一种通用字符编码。

   IPv4 是用 . 分开的！！！！！分为四段，每段在 0~255 之间，本质是四个八位二进制数。

   IPv6 是用 : 分开的，分为八段，是八个十六进制数。

   HTML 还是放弃吧（汗）：<a href="http://www.noi.cn">欢迎...</a>

   Solaries 是 Unix 旗下的，Symbian 是诺基亚旗下的。

   OOL: Simula67->Smalltalk, EIFFEL, C++, Java, C#, Python.

   POL: C, Fortran, Pascal, Basic.

   编译：C, C++, Pascal.

   解释：Python, JavaScript, PHP, Basic.

   排序稳定性问题，看相等元素是否有可能比较多次即可。

   地址总线宽度为 \(2 ^ {32}\) 位可以寻址 4GB，往后面就是成倍数计算即可。或者可以理解为 1bit 对应 1Byte。

   GPRS 为通用分组无线业务。

   NP=P?

五、特殊算法集锦（肯定是用来手算的）

1. 遍历树相关：

   前中或后中确立整个树。

   前后求中，某个区间根对上了说明有鬼（因为这样就不知道是左子树还是右子树了），所以直接乘二，最后就能得到可能性有多少种。

2. \(2n\) 个数找 \(\max\) 与 \(\min\)，最多只需要 \(3n-2\) 次比较。

   方法是两两配对，更大的归到一组，更小的归到另一组，然后在两个组分别暴力。

   归并的复杂度也是 \(3n\) 左右的，但是这个次数严格最小，我真的不会证。

3. 染色图最小色数问题：从度数最多的点开始染即可。

4. 简单图计数：容斥、逆推、暴力，等等等等吧。。。

5. Huffman 树的构造：合并后取最小的两个集合再合并。

6. 可任意插入的数组排序所需要的最小次数当然是 \(n-len(LIS)\)。

7. 基于普通分治找第 \(k\) 大数的平均时间复杂度是 \(O(n)\)。当然是在期望下。。。

8. 17 年考的对偶图最小割转最短路，方案数穷举就好了。

六、组合计数

一般初赛不会考得太***钻，但也不排除会算错（汗）。

1. Catalan 数：

   \[h(n) = \binom{2n}{n} - \binom {2n}{n-1}=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \]

2. 错排：

   \[D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) \]

   什么？你说生成函数的东西？我他妈早忘了。

3. 特征方程：

   对于常系数齐次递推：

   \[h _ n = \sum _ { i = 1 } ^ { k } a _ i h _ {n-i} \]

   其特征方程为：

   \[x ^ k = \sum _ { i = 1 } ^ { k } a _ i x ^ { k - i } \]

   若该多项式方程有 \(k\) 个不同的根 \(q _ 1, \cdots , q _ k\)，则有：

   \[h _ n = \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ i q _ i ^ n \]

   简单题目 17 年单选 T10。

4. 容斥：你妈的。。。

   几个基本反演。。。

   现在我尚能掌握的恐怕只有莫比乌斯反演，或者直接贝尔级数乱搞了，狄利克雷级数我已经忘了（非积性函数直接死）。

   二项式反演做的题太少。。。希望人没事。

   单位根反演、集合反演、 Min-Max 容斥还有斯特林反演我还是算了吧。。。

5. 插空法，加球插空理解了就好。

实在不行就暴力乱搞，不要管式子优不优美之类的。

反正会有限微积分，希望不要出事。

七、杂题乱讲

1. 期望递推：当方程玩。某年的青蛙跳题，懒得翻了。

2. 算期望：积分会吧。

   有一个 2018 年的线段题，讲说一条长度为 1 的线段上随机选两个点，构成了一条线段，问这条线段的长度期望是多少。

   一个积分：

   \[\int _ 0 ^ 1 x ^ 2 \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3} \]

   你看多简单（雾）。

3. 解方程：

   \[ab=(a|b)(a \& b) \]

   其中 \(a,b\) 都是 \(n\) 位二进制数。

   其实挺离谱的，根据：

   \[a\& b \le \min (a,b) \le \max (a,b)\le a|b < 2 \max (a,b) \]

   我们知道实际上就是：

   \[\min (a,b) = (a \& b), \max(a,b) = (a|b) \]

   那就是算一个各位包含的问题：

   \[2\left( \sum _ {0} ^ {n+1} \binom{n}{x} 2 ^ x \, \delta x \right) - 2 ^ n \]

   原题在一个可以爆算的范围。

   这个积分不会啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。

4. 数字车牌翻转过后还是原来的车牌，并且能被 3 整除。

   中间 0，1，8，然后就是判同余的问题了。

   \(P_ 5 ^ 2 + 5= 25\) 结束了。

5. 记 \(T\) 为一队列，初始时为空，现有 \(n\) 个总和不超过 32 的正整数依次入列。如果无论这些数具体为何值，都能找到一种出队的方式，使得存在某个时刻队列 \(T\) 中的数之和恰好为 9，求 \(n\) 的最小值。

   题意翻译过来就是有一个长度为 \(n\) 的序列，里面数的和不超过 32，然后每个数都不作限制。求当 \(n\) 大于等于多少时必然存在其中一段连续序列的和为 9。

   这个题实际上蛮思维的。

   就是你反向构造，意思就是前缀和之差等于 9 的不能存在。然后前缀和必然互异，然后你发现最多只能取 17 个数，取到第 18 个数的时候必然会存在连续的和为 9 的一段。

八、阅读程序和补全程序

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊你妈！！！！！！！！

我放弃了！！！！！！！！！！！！！

去年他妈手算 base64 还要填四毛子，我看今年还是寄了算了吧！！！！！！！

算一下大概选择题 30 分不失误是可以拿满的，想上 90 需要保证除了比较难的空全部都要正确才行。。。

按去年的线只要这两部分拿 20 分就能过。。。

我还是摆烂吧啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。