P5495 Dirichlet 前缀和

Dirichlet 前缀和

复健一下子。。。

直接暴力枚举因数是 \(O(n \ln n)\) 的，这里卡的很紧，基本过不掉。

我们类似埃氏筛的方法来做前缀和即可，时间复杂度是 \(O(n\ln \ln n)\) 的，就能过了。

那么简单地来说：

前缀和（\(\zeta\) 变换）：

for(ll i=1;i<=cnt;i++) {
  for(ll j=1;j*prime[i]<=n;j++) {
    f[j*prime[i]]+=f[j];
  }
}

前缀差分（\(\mu\) 变换）：

for(ll i=1;i<=cnt;i++) {
  for(ll j=n/prime[i];j;j++) { // 注意这里
    f[j*prime[i]]-=f[j];
  }
}

后缀和（方向相反的 \(\zeta\) 变换）：

for(ll i=1;i<=cnt;i++) {
  for(ll j=n/prime[i];j;j++) { // 注意这里
    f[j]+=f[j*prime[i]]; // 注意这里
  }
}

后缀差分（方向相反的 \(\mu\) 变换）：

for(ll i=1;i<=cnt;i++) {
  for(ll j=1;j*prime[i]<=n;j++) {
    f[j]-=f[j*prime[i]];
  }
}

理解起来并不困难。

时间复杂度全都是 \(O(n\ln \ln n)\) 的。。。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define uint unsigned int
using namespace std;
namespace Ehnaev{
  inline uint read() {
    ll ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<48||ch>57) {if(ch==45) f=-f;ch=getchar();}
    while(ch>=48&&ch<=57) {ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return ret*f;
  }
  inline void write(uint x) {
    static char buf[22];static ll len=-1;
    if(x>=0) {do{buf[++len]=x%10+48;x/=10;}while(x);}
    else {putchar(45);do{buf[++len]=-(x%10)+48;x/=10;}while(x);}
    while(len>=0) putchar(buf[len--]);
  }
}using Ehnaev::read;using Ehnaev::write;

const ll N=2e7;

uint seed,n;
uint a[N+5],b[N+5];
inline uint getnext(){
  seed^=seed<<13;
  seed^=seed>>17;
  seed^=seed<<5;
  return seed;
}
bool f[N+5];
ll cnt;
ll prime[N+5];

inline void Init() {
  f[1]=1;
  for(ll i=2;i<=n;i++) {
    if(!f[i]) {prime[++cnt]=i;}
    for(ll j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++) {
      f[i*prime[j]]=1;
      if(i%prime[j]==0) break;
    }
  }
}

int main() {

  n=read();seed=read();

  for(ll i=1;i<=n;i++) {
    a[i]=b[i]=getnext();
  }

  Init();

  for(ll i=1;i<=cnt;i++) {
    for(ll j=1;j*prime[i]<=n;j++) {
      b[j*prime[i]]+=b[j];
    }
  }

  uint ans=0;
  for(ll i=1;i<=n;i++) {ans^=b[i];}

  write(ans);

  return 0;
}