BZOJ2705 Longge的问题

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BZOJ2705 Longge的问题

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题解

表示数论题目根本不会这题一眼看过去，像是欧拉函数，结果也就是欧拉函数搞一搞，但是之前根本没学过，只能直接套个板子了。我们枚举\(N\)的每一个约数\(X\)，那么这个约数对于答案的贡献就是\(Euler(N/X)*X\)。但是这样的复杂度是\(O(N*\sqrt{N})\)，并不满足要求，所以我们考虑只需要枚举小于等于\(\sqrt{N}\)的约数，计算这个约数的同时将\(N/X\)这另一个约数同时处理掉，这样复杂度就会优化到大概\(O(\sqrt{N}*\sqrt{N})=O(N)\)。然而\(N\)有\(2^{32}\)那么大，这个玄学的复杂度竟然能够\(24ms\)跑过去？？！实际上这个复杂度是\(\sum_{d|N}\sqrt{d}\)，即\(N\)的所有约数的根号之和，而这个复杂度实际上也就会比\(\sqrt{N}\)大一些，并不会爆掉。具体证明的话听同学说是把约数分成\(\sqrt{N}\)前一半和后一半，然后分别证明两边复杂度不会太高，最后就能证明出总复杂度并不会到达\(O(N)\)就行了。不过具体的还是不怎么懂。。

ｃｏｄｅ

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('\n');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
ll n;
/*==================Define Area================*/
ll Euler(ll x) {
	ll res=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++) {
		if(!(x%i)) {
			res=res-res/i;
			while(!(x%i)) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) res-=res/x;
	return res;
}

int main() {
	read(n);
	ll res=0;
	for(int i=1;i*i<=n;i++) {
		if(!(n%i)) {
			res+=1ll*Euler(n/i)*i;
			if(i*i<n) res+=1ll*Euler(i)*(n/i);
		}
	}
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}