期望与概率分布

期望与概率分布

数学期望的含义

试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，最基本的数学特征之一。
他反应随机变量平均取值的大小，并不一定属于结果输出值集合里。可以看做加权平均值，权重是结果的频率。
求一个随机变量的期望相当于求它所在分布的中心位置的横坐标（概率分布见下文）。

数学期望的性质

设 \(C\) 为一个常数，\(X\) 和 \(Y\) 是两个随机变量。

• \(E(C)=C\) 期望的期望是期望本身（期望是常数）。
• \(E(CX)=CE(X)\)
• \(E(aX+bY)=a* E(X)+b* E(Y)\) 期望是线性函数。
• \(X\) \(Y\) 互相独立时，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)

举例：
两个骰子掷出点数的期望：

\(E(X)=\sum\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)Pr(\omega)\)

\(E(X)=\dfrac{1}{36}*(2+12)+\dfrac{2}{36}*(3+11)+\dfrac{3}{36}*(4+10)+\dfrac{4}{36}*(5+9)+\dfrac{5}{36}*(6+8)+\dfrac{6}{36}*7=7\)

一个骰子掷出点数的期望：

\(E(Y)=\dfrac{1}{6}*1+\dfrac{1}{6}*2+\dots +\dfrac{1}{6}*6=3.5\)

\(E(X)=2E(Y)\)

期望与算数平均值的关系

平均数是根据统计结果计算出来的算数平均值，与实验结果本身有关。
而数学期望是完全由随机变量的概率分布决定的，与实验结果本身无关。

例如掷骰子，平均数和你骰出的点数有关，期望值恒为 3.5。

实验的多少是可以改变平均数的，而在你的分布不变的情况下，期望是不变的。

弱大数定理：

如果我们能进行无穷次随机实验并计算出其样本的平均数的话，那么这个平均数其实就是期望。

当然实际上根本不可能进行无穷次实验，但是实验样本的平均数会随着实验样本的增多越来越接近期望，就像频率随着实验样本的增多会越来越接近概率一样。

如果说概率是频率随样本趋于无穷的极限。

那么期望就是平均数随样本趋于无穷的极限。

什么是概率分布

弄清这个首先需要知道以下芝士。

数据有哪些类型

数据类型（统计学中称为随机变量）分为两种，离散型以及连续型。

可以想象成整点函数和函数，离散数据数据的取值是不连续的，例如掷骰子只有六种数值。又如时间，能够无限分割，1.2 分钟，1.215 分钟... 它就是典型的连续数据。

什么是分布

数据在统计图中的形状叫做它的分布。

---

概率分布就是将数据类型和分布结合的一种表现手段，在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。

显然因为数据类型不同，概率分布也不同，分为离散概率分布和连续概率分布。

为什么要关心数据类型？

数据类型会影响求概率的方法。

概率和数据类型改变了，期望的值就会改变，所以期望的值与概率分布有关。

常见的概率分布

二项分布

重复 N 次伯努利实验，发生 K 次事件的概率。

二项分布是"二项"的，也就是说每个事件都有 2 种可能的结果（表白成功、失败，掷硬币正面、反面）。

实验次数也是固定的，用 N 表示。

每次成功的概率是相等的，用 P 表示。

得到发生 K 次事件的概率（成功 K 次 失败 K 次）。

满足以上条件就可以用二项分布的公式计算了。