Part1:求和公式及其性质
给定一个数列\(a_1,a_2,\dots,a_n\),其中\(n\in\mathbb{N}\),可以将有限和\(a_1+a_2+\dots+a_n\)记作
\[\sum_{i=1}^n a_i
\]
特别地,若\(n=0\),则和式的值为\(0\),或称为级数(series).有限级数可以任意交换顺序求和.
给定一个无穷数列\(a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\),定义其和为
\[S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^na_i
\]
若极限存在,则该级数发散(divergent),否则该级数收敛(convergent).对于收敛级数,一般不能改变级数的求和顺序.然而,若
\[S=\sum_{i=1}^{\infty}|a_i|
\]
也收敛,则称之为绝对收敛(absolute convergent)级数.绝对收敛级数可以任意改变其求和顺序.
级数具有线性性(linearity).即,对于任意的常数\(c_1,c_2\)与数列\(a_1,a_2,\dots,a_n\)和\(b_1,b_2,\dots,b_n\),都有
\[\sum_{i=1}^n(c_1a_i+c_2b_i)=c_1\sum_{i=1}^na_i+c_2\sum_{i=1}^nb_i
\]
对于无穷收敛级数也适用.线性性质还可以用于增长记号,即
\[\sum_{i=1}^n\Theta(f(i))=\Theta\left(\sum_{i=1}^n f(i)\right);\\
\sum_{i=1}^nO(f(i))=O\left(\sum_{i=1}^n f(i)\right)
\]
Part2:常见级数
等差级数
形如
\[\sum_{i=1}^n (a+di)
\]
的级数称为等差级数(arithmetic series).其和为
\[S=\sum_{i=1}^n (a+di)=an+\sum_{i=1}^n di=an+\frac{dn(n+1)}2
\]
特别地,取\(a=0,d=1\)时,就有
\[\begin{align}
S=\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}2=\Theta(n^2)
\end{align}
\]
幂次和
给出柿子:
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\\
\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}4\\
\sum_{i=1}^n i^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\\
\sum_{i=1}^n i^5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}
\end{align*}
\]
还有一些常用的变式:
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^n (2i-1)^2=\frac{n(4n^2)-1}3\\
\sum_{i=1}^n (2i-1)^3=n^2(2n^2-1)\\
\sum_{i=1}^n i(i+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3\\
\sum_{i=1}^n i(i+1)(i+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}4\\
\sum_{i=1}^n i(i+1)(i+2)(i+3)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}5\\
\sum_{i=1}^n \left[\prod_{j=0}^{k-1} (i+j)\right]=\frac{\prod\limits_{i=0}^k (n+i)}{k+1}
\end{align*}
\]
更高次幂的求和公式也是有的,但是要涉及到伯努利数,也不常用.一般来说,\(k\)次幂和的结果是\(\Theta(n^{k+1})\)级别的.
几何级数
对于非零实数\(x\ne 1\),和式
\[\sum_{k=0}^n x^k=1+x+x^2+\dots+x^n
\]
称为几何级数(geometry series),其值为
\[\sum_{k=0}^n x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}
\]
当和为无限且\(|x|<1\)时,有
\[\sum_{k=0}^{\infty} x^k=\frac1{1-x}
\]
调和数
对于\(n\in\mathbb{N}^+\),第\(n\)个调和数(harmonic number)是
\[H_n=\sum_{i=1}^n \frac 1i=\ln n+O(1)
\]
调和级数(harmonic series)
\[\sum_{i=1}^{\infty}\frac1i
\]
是发散的,但是常用来判定其它级数的敛散性.
裂项级数
对于任意数列\(a_0,a_1,\dots,a_n\),有
\[\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i-1})=a_n-a_0
\]
这是因为\(a_1,a_2,\dots,a_{n-1}\)中的每一项都加减相消.这种求和方法称为裂项求和(telescoping sum).类似地,
\[\sum_{i=0}^{n-1}(a_i-a_{i+1})=a_0-a_n
\]
举个栗子,我们考虑级数
\[\sum_{i=1}^{n-1}\frac1{i(i+1)}
\]
其每一项可写成
\[\frac1{i(i+1)}=\frac1i-\frac1{i+1}
\]
所以
\[\sum_{i=1}^{n-1}\frac1{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac1i-\frac1{i+1}\right)=1-\frac1n
\]
Part3:和式界的确定
有许多方法可以确定和式的界.
数学归纳法
这是求级数和的最基本的方法.以证明等差级数\(\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}2\)为例:
当\(n=1\)时,等式成立.假设该等式对\(n\)成立,那么对于\(n+1\),有
\[\sum_{i=1}^{n+1}i=\sum_{i=1}^ni+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2
\]
通常我们并不需要求出和式的值,而可以用归纳法证明和式的界.以证明几何级数\(\sum\limits_{i=0}^n 3^i\)的界为\(O(3^n)\),即对于所有的\(n\ge0\),都存在一个常数\(c\),使得\(\sum\limits_{i=0}^n 3^i\le c3^n\)为例:
当\(n=0\)时,只需\(c\ge1\),就有\(\sum\limits_{i=0}^n3^i=1\le c\cdot 1\)成立.假设该界对\(n\)成立,那么对于\(n+1\),只需\((1/3+1/c)\le 1\),即\(c\ge3/2\)成立,就有
\[\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n+1}3^i&=\sum_{i=0}^n3^i+3^{n+1}\\
&\le c3^{n}+3^{n+1}\\
&=\left(\frac13+\frac1c\right)c3^{n+1}\\
&\le c3^{n+1}
\end{align*}
\]
故\(\sum\limits_{i=0}^n 3^i=O(3^n)\)成立.
确定每一项的界
我们可以通过求得级数中每一项的界,通过放缩来求得级数的一个上界.举个栗子,对于等差级数\((1)\),有一个可以快速获得的上界
\[\sum_{i=1}^n i\le \sum_{i=1}^n n=n^2
\]
通常,对于级数\(\sum\limits_{i=1}^n a_i\),若令\(m=\max\limits_{1\le i\le n}a_i\),则有
\[\sum_{i=1}^na_i\le n\cdot m
\]
当一个级数能以几何级数为界时,用级数中最大的项作为界并不理想.给定级数\(\sum\limits_{i=0}^n a_i\),假设对于所有的\(i\ge0\),都有\(a_{i+1}/a_i\le r\),其中\(0<r<1\)是常数(注意,必须是常数!).因为\(a_i\le a_0r^k\),我们以一个收敛的无穷几何级数为界,则有
\[\sum_{i=0}^n a_i\le \sum_{i=0}^{\infty} a_0r^i=a_0\sum_{i=0}^{\infty}r^i=a_0\frac1{1-r}
\]
举个栗子.我们要求\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}i/3^i\)的界.为了从\(0\)开始求和,我们将柿子改写作\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}(i+1)/3^{i+1}\).第一项\(a_0\)为\(1/3\),并且邻项的比值
\[r=\frac{(i+2)/3^{i+2}}{(i+1)/3^{i+1}}=\frac13\cdot\frac{i+2}{i+1}\le \frac23
\]
是常数.因此有
\[\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{3^i}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i+1}{3^{i+1}}\le \frac13\cdot \frac1{1-2/3}=1.
\]
分割求和法
分割求和法是求取复杂和式界的好方法.其方法是,首先将一个级数按下标范围划分后表示为两个或多个级数的和,然后对每一个划分求出和式的界.以求等差级数\((1)\)的下界为例,我们已知它有上界\(n^2\).为求得其一个下界,我们不妨设\(n\)为偶数,就有
\[\sum_{i=1}^ni=\sum_{i=1}^{n/2}i+\sum_{i=n/2+1}^{n}i\ge \sum_{i=1}^{n/2}0+\sum_{i=n/2+1}^n(n/2)=(n/2)^2=\Omega(n^2)
\]
因为\(\sum\limits_{i=1}^ni=O(n^2)\),所以该界是渐进紧确界.
我们通常可以将和式分割,并忽略其常熟个起始项.该技巧一般适用于和式\(\sum\limits_{i=0}^na_i\)中每一项\(a_i\)均独立于\(n\)的情况.之后,对于任意常数\(i_0>0\),都有
\[\sum_{i=0}^na_i=\sum_{i=0}^{i_0-1}a_i+\sum_{i=i_0}^na_i=\Theta(1)+\sum_{i=i_0}^na_i
\]
例如,求
\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i^2}{2^i}
\]
的一个渐进上界,在\(k\ge 3\)时,观察其邻项比值为
\[r=\frac{(i+1)^2/2^{i+1}}{i^2/2^i}=\frac{(i+1)^2}{2i^2}\le \frac89
\]
又因为第一个和式的项数是常数,且第二个和式是一个收敛几何级数,所以
\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i^2}{2^i}=\sum_{i=0}^2\frac{i^2}{2^i}+\sum_{i=3}^{\infty}\frac{i^2}{2^i}\le \sum_{i=0}^2\frac{i^2}{2^i}+\frac98\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac89\right)^i=O(1)
\]
再举个栗子.我们可以用分割求和法确定调和数的界:
\[H_n=\sum_{i=1}^n\frac1i=O(\log n)
\]
我们将下标范围从\(1\)到\(n\)分割成\(\left\lfloor\log n\right\rfloor+1\),并令每一段上界为\(1\).对于\(i=0,1,\dots,\left\lfloor\log n\right\rfloor\),第\(i\)段包含自\(1/2^i\)起到\(1/2^{i+1}\)(不含)的项.因此有
\[\sum_{i=1}^n\frac1i\le\sum_{i=0}^{\left\lfloor\log n\right\rfloor}\sum_{j=0}^{2^i-1}\frac1{2^i+j}\le\sum_{i=0}^{\left\lfloor\log n\right\rfloor}\sum_{j=0}^{2^i-1}\frac1{2^i}=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \log n\right\rfloor}1\le \log n+1
\]
积分近似法
当一个和式的形式为\(\sum\limits_{i=m}^nf(i)\)时,其中\(f(i)\)是单调递减函数,我们可以用积分求其近似值:
\[\int_{m-1}^nf(x)\mathrm{d}x\le\sum_{i=m}^nf(i)\le\int_{m}^{n+1}f(x)\mathrm{d}x
\]
我们也可以用相似的方法求其渐进界:
\[\int_m^{n+1}f(x)\mathrm{d}x\le\sum_{i=m}^nf(i)\le\int_{m-1}^nf(x)\mathrm{d}x
\]
我们用上述公式来计算调和数的紧估计.对于下界,可得
\[\sum_{i=1}^n\frac1i\le\int_1^{n+1}\frac{\mathrm dx}{x}=\ln(n+1)
\]
对于上界,有不等式
\[\sum_{i=2}^n\frac1i\le\int_1^n\frac{\mathrm dx}{x}=\ln n
\]
由此得到其界
\[\sum_{i=1}^n\frac 1i\le \ln n+1
\]
本文完
