平面向量略解

Part1:平面向量的定义

一般地,我们称一个二维向量(plane vector)(又称为矢量)是一个二维平面上的有向线段,记为$\vec{AB}$,其起点为$A$,终点为$B$.或简单地,我们也可以用形如$\vec{a}$的记号表示一个向量.在印刷体里,也用加粗的字母$\mathbf{a}$表示一个向量.无向线段$AB$的长度(或起点与终点间的距离)称为向量的长度(length)(或模),记作$|\vec{AB}|$($|\vec a|$).注意,由于向量的有向性,向量$\vec{AB}$和$\vec{BA}$是不同的,但是它们长度相同,大小相反.

如图,我们称夹角$\angle POA$为向量$\vec{OA}$的辐角(argument),记作$\theta=\arg\angle POA$,并约定$0\le \theta <360^{\circ}$.夹角$\angle AOB$则成为向量$\vec{OA}$与$\vec{OB}$的夹角,记作$(\widehat{\vec a,\vec b})$.$\vec 0$与任何向量的夹角都是任意的.

如果两个向量$\vec a,\vec b$的方向,长度均相同,则称这两个向量相等,记作$\vec a=\vec b$.否则成两个向量不相等,记作$\vec a\ne \vec b$.

如果$AB//CD$,那么我们称向量$\vec{AB}$和$\vec{CD}$是共线的(collinear)(或平行的(parallel)),记为$\vec{AB}//\vec{CD}$.两个向量共线,要么方向相同,要么方向相反.我们把方向相反的向量$\vec{a}$和$\vec{b}$称作互为负向量(negative vector),记作$\vec a=-\vec b,\vec b=-\vec a$.显然有$\vec{AB}=-\vec{BA}$.

如果$AB\perp CD$,那么我们称向量$\vec{AB}$和$\vec{CD}$是正交的(orthogonal)(或垂直的(vertical)),记为$\vec{AB}\perp\vec{CD}$.

如果$|\vec a|=0$,那么我们称$\vec a$为一个零向量(zero vector),记作$\vec a=\vec 0$.零向量的起点与终点相同.

如果$|\vec a|=1$,那么我们称$\vec a$为一个单位向量(unit vector).给定起点的单位向量终点的轨迹是一个单位圆.对于一个向量$\vec a$,我们称与$\vec a$共线的单位向量$\vec e$为$\vec a$(生成)的标准化向量,记作$\vec{ a_e}$.

以后,为方便讨论,我们将向量移到平面坐标系上,并规定一般所有向量的起点都是原点$O$.这样,平面向量就与二维点有了一个一一对应.

Part2:平面向量的线性运算

数乘

对于一个向量$\vec{OA}$,以及实数$\lambda>0$,定义$\vec{OA}$与$\lambda$的数乘(scalar multiplication)为将$\vec{OA}$往原方向延长(或缩小)$\lambda$倍所得的向量,即满足于$\vec{OA}$同向,并且$\lambda|\vec{OA}|=|\vec{OA'}|$的向量$\vec{OA'}$,记作$\vec{OA'}=\lambda{\vec{OA}}$.

若$\lambda<0$,则定义$\lambda\vec{OA}=|\lambda|(-\vec{OA})$.即往反方向延长(或缩小)$\lambda$倍所得的向量.

若$\lambda=0$,则定义$\lambda\vec{OA}=\vec 0$.

向量的数乘满足以下运算规律:

$1.\lambda \mu \vec a=(\lambda \mu)\vec a=\lambda(\mu\vec a).$

$2.(\lambda+\mu)\vec a=\lambda \vec a+\mu \vec a$.

$3.-\lambda\vec a=(-\lambda)\vec a=\lambda(-\vec a)$.

$4.|\lambda\vec a|=|\lambda||\vec a|$.

$5.\vec{a_e}=\frac1{\lambda}\vec a$

(平行向量的判定)$5.\vec a=\lambda \vec b\Leftrightarrow \vec a//\vec b$

加法&减法

两个向量的加法满足平行四边形法则.如图,

我们称$\vec{OA}$,$\vec{OB}$所围成平行四边形$OACB$的一条对角线$\vec{OC}$就是$\vec{OA}$,$\vec{OB}$的和,记作$\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}$.特别地,$\vec a+\vec a=2\vec a$

我们称两个向量$\vec{OA},\vec{OB}$的差为$\vec{OA}+(-\vec{OB})$,即$\vec{OA}$,$-\vec{OB}=\vec{OB'}$所围成的平行四边形$OACB'$的一条对角线$\vec{OC}$,记作$\vec{OC}=\vec{OA}-\vec{OB}$.特别地,$\vec a-\vec a=\vec 0$.

或更一般的,两个向量$\vec{OA},\vec{OB}$的差就是$\vec{BA}$(注意,此时必须有$\arg \vec{OA}\le \arg \vec{OB}$,若不等号反向,则$\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{AB}$).

向量的线性运算满足以下运算规律:

(交换律)$1.\vec a+\vec b=\vec b+\vec a.$

(结合律)$2.\vec a+\vec b+\vec c=(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c).$

(线性性)$3.\lambda (\vec a\pm \vec b)=\lambda \vec a\pm \lambda \vec b.$

(三角不等式)$4.|\vec a-\vec b|\le |\vec a+\vec b|\le |\vec a|+|\vec b|.$

当且仅当$\vec b=\vec 0$时左侧等号成立,$\vec a=\vec b$时右侧等号成立.

Part3:向量的正交分解

我们引入两个向量:$\mathbf{i},\mathbf{j}$(清晰起见使用粗体表示).其中$\mathbf{i}$是沿$x$轴正方向的单位向量,$\mathbf{j}$是沿$y$轴正方向的单位向量.易知$\mathbf{i}\perp\mathbf{j}$.

我们根据向量的线性运算的几何意义可知,任何一个向量$\vec{OA}=\vec a$都可以惟一地表示为$\vec a=x\mathbf i+y\mathbf j$的形式,其中$A(x,y)$.这称为向量的标准正交分解(normal orthogonal decomposition),$x,y$称作向量$\vec a$的分量(component),记作$x=a_x,y=a_y$,$x\mathbf i,y\mathbf j$称为向量$\vec a$的正交分量,$(x,y)$称为向量$\vec a$的坐标.这也验证了我们前面所说的任何一个向量与平面上的点一一对应的事实.

运用向量的坐标分解,容易得出向量的模长及辐角公式:

$$|\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2};\\ \tan(\arg \vec a)=\frac{a_y}{a_x}.$$

对于线性运算也有:

$$\vec a\pm \vec b=(a_x\pm b_x)\mathbf i+(a_y\pm b_y)\mathbf j;\\ \lambda \vec a=(\lambda a_x)\mathbf i+(\lambda a_y)\mathbf j.$$

这些公式都容易由几何意义得到.

Part4:向量的点积

定义,对于向量$\vec a,\vec b$,称

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$$

为两个向量的点积(dot product)(也称数量积(scalar product)),其中$\theta=(\widehat{\vec a,\vec b})$.注意,点积记号中的点乘$\cdot$不可省略,也不可写作$\times$.我们下面来求点积的解析公式.

如图,$\triangle AOB$中,有$OA=|\vec a|,OB=|\vec b|,AB=|\vec a-\vec b|,\angle AOB=\theta=(\widehat{\vec a,\vec b})$.根据余弦定理有

$$AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos\theta$$

于是

$$|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta$$

即

$$(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2=(a_x^2+a_y^2)+(b_x^2+b_y^2)-2\vec a\cdot \vec b$$

整理得

$$\vec a\cdot \vec b=a_xb_x+a_yb_y$$

这就得到了向量的点积公式.两个向量点积为零,那么其中至少有一个为零.

进一步地,我们可以得到向量的夹角公式:

$$\cos(\widehat{\vec a,\vec b})=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$$

向量的点积有以下性质:

$1.a\cdot a=|a|^2$.

(正交向量的判定)$2.a\cdot b=0\Leftrightarrow \vec a\perp\vec b$.

(交换律)$3.\vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec a$.

(分配律)$4.\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot \vec c+\vec a\cdot \vec b$.

向量的柯西不等式

从夹角公式可以初步看出,$|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|$.我们来证明这一结论.

$$|\vec a\cdot \vec b|=|a_xb_x+a_yb_y|;\\ |\vec a||\vec b|=\sqrt{(a_x^2+a_y^2)(b_x^2+b_y^2)}.$$

由非负性,两边平方得

$$(a_xb_x+a_yb_y)^2=(a_x^2+a_y^2)(b_x^2+b_y^2)$$

我们只需证明上述的代数不等式即可.

构造多项式$f(t)=(a_xt+b_x)^2+(a_yt+b_y)^2=(a_x^2+a_y^2)t^2+2(a_xb_x+a_yb_y)t+(b_x^2+b_y^2)\le 0$.于是我们知其判别式$\Delta\le0$.即,

$$4(a_xb_x+a_yb_y)^2-4(a_x^2+a_y^2)\cdot(b_x^2+b_y^2)\le 0$$

整理知上述代数不等式成立,故原不等式成立.这个结论被称作向量的柯西(Cauchy)不等式.

向量的投影

对于向量$\vec a=\vec{OA},\vec b=\vec{OB}$,若在$OB$上取一点$P$,使得$\vec b\perp\vec{PA}$,则称$OP$(注意,无向线段)为$\vec a$在$\vec b$(方向)上的(标量)投影(projection).

我们易知

$$\mathrm{proj}_{\vec b}\vec a=OP=|\vec a|\cdot \cos\theta$$

其中$\theta=(\widehat{\vec a,\vec b})$.由定义可知,一个向量在另一个向量方向上的投影是一个标量.当$\theta$为锐角时,它是正值;当$\theta$为直角时,它是$0$;当$\theta$为钝角时,它是负值;当$\theta=0$时,它等于$|\vec b|$;当$\theta=180^{\circ}$时,它等于$-|\vec b|$.我们再由$\cos \theta=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}$知,

$$\mathrm{proj}_{\vec b}\vec a=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec b|}$$

我们若给标量投影赋予一个方向$\vec {b_e}$,定义$\vec a$在$\vec b$(方向)上的矢投影为,

$$\mathbf{proj}_{\vec b}\vec a=OP\cdot \vec{b_e}=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec b|}\vec{b_e}$$

注意,向量间矢投影是一个向量.上式记号中的粗体代表向量,或可记为$\vec{\mathrm{proj}}_{\vec b}\vec a$.

Part5:向量的叉积

对于两个向量$\vec a,\vec b$,若$\vec a$可逆时针转动不超过$180^{\circ}$转到$\vec b$,则称$\vec a,\vec b$构成一个右手系.

对于两个构成右手系的向量$\vec a,\vec b$,定义两个向量的叉积(cross product)(或向量积(vector product))为

$$\vec a\times\vec b=|\vec a||\vec b|\sin\theta$$

其中$\theta=(\widehat{\vec a,\vec b})$.并约定$\vec a\times\vec a=0,\vec b\times \vec a=-\vec a\times \vec b$.其几何意义是$\vec a,\vec b$围成平行四边形的有向面积.

一般地,对于两个向量$\vec a,\vec b$,其叉积为

$$\vec a\times \vec b=\begin{vmatrix}a_x&b_x\\a_y&b_y\end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x$$

注意,两个向量的叉积并不是一个标量,而是一个伪向量,它是一个三维向量,其方向为$\mathbf{k}$,即方向为$z$轴正方向.但是在二维范围内,为方便讨论,我们忽略这个方向,而把它当作一个标量.

二维叉积具有以下性质:

(分配律)$1.\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c$.

$2.(\lambda \vec a)\times\vec b=a\times(\lambda \vec b)=\lambda(\vec a\times \vec b)$.

(平行向量的判定)$3.\vec a//\vec b\Leftrightarrow \vec a\times \vec b=0$.

在讨论三维向量时,我们会重点讨论叉积.

本文完