Part1:矩阵的定义
设\(n\times m\)个数排成的数表
\[\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}
\end{matrix}
\]
记
\[A_{n\times m}=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
称为一个\(n\)行\(m\)列(或\(n\times m\))的矩阵(matrix),记作
\[A_{n\times m}=(a_{ij})_{n\times m}
\]
其中 \(a_{ij}\) 称为矩阵的元素,\(i\)称为行,\(j\)称为列.称两个矩阵相等,当且仅当两个矩阵行数,列数都相等,且对应元素相等,即
\[A_{n_1\times m_1}=B_{n_2\times m_2}\Leftrightarrow n_1=n_2,m_1=m_2,\forall 1\le i\le n,1\le j\le m,a_{ij}=b_{ij}.
\]
若两个矩阵的行数,列数相等,则称两个矩阵是同型的.显然,两个矩阵相等的必要条件是两个矩阵同型.若一个矩阵的行和列相等,则称之为\(n\)阶方阵(square matrix),可简记为
\[A_{n\times n}=A_n
\]
特别地,记
\[O_{n\times m}=(0)_{n\times m}
\]
为\(n\times m\)的零矩阵(null matrix),记
\[I_n=\begin{bmatrix}
1&0&\dots&0\\
0&1&\dots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\dots&1
\end{bmatrix}
\]
称为\(n\times n\)(或\(n\)阶)单位矩阵(identity matrix).
形如
\[x=(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]
的矩阵称为\(n\)行向量(row vector),而形如
\[x=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix}
\]
的矩阵称为\(n\)列向量(column vector).
Part2:矩阵的线性运算
记
\[A_{n\times m}+B_{n\times m}=(a_{ij}+b_{ij})_{n\times m}\triangleq C_{n\times m}
\]
\(C_{n\times m}\)称为两个矩阵的和.两个同型矩阵才能求和.矩阵的加法满足结合律和交换律.
记
\[A_{n\times m}-B_{n\times m}=(a_{ij}-b_{ij})_{n\times m}\triangleq C_{n\times m}
\]
\(C_{n\times m}\)称为两个矩阵的差.
记
\[\lambda A_{n\times m}=(\lambda a_{ij})_{n\times m}
\]
\(\lambda A_{n\times m}\)称为矩阵\(A\)与\(\lambda\)的数乘.
记
\[A^{\mathrm{T}}=(a_{ji})_{m\times n}
\]
\(A^{\mathrm{T}}\)称为矩阵\(A\)的转置(transpose).
Part3:矩阵乘法
定义
\[A_{n\times m}\times B_{m\times p}=A_{n\times m}B_{m\times p}=C_{n\times p}
\]
其中
\[c_{ij}=\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}
\]
称为两个矩阵的乘法.两个矩阵可以相乘,当且仅当第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数.
矩阵的乘法满足结合律,但绝不满足交换律.
比如,对于
\[A=\begin{bmatrix}
1&0&2\\
-1&3&1
\end{bmatrix},
B=\begin{bmatrix}
3&1\\
2&1\\
1&0
\end{bmatrix},\\
A\times B=\begin{bmatrix}
(1\times 3+0\times2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\
((-1)\times 3+3\times 2+1\times1)&((-1)\times 1+3\times 1+1\times 0)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5&1\\
4&2
\end{bmatrix}
\]
对于两个行向量\(x=(x_1,x_2,\dots,x_n),y=(y_1,y_2,\dots,y_n)\),定义\(x,y\)的内积(inner product)为
\[[x,y]=x^{\mathrm T}y=\sum_{i=1}^n x_iy_i
\]
而方阵\(Z=xy^{\mathrm T}\)称为\(x,y\)的外积(cross product),并有\(z_{ij}=x_iy_j\).
定义向量\(x\)的长度(length)或范数(norm)为
\[\parallel x\parallel =\sqrt{[x,x]}=\sqrt(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)
\]
范数是正定的,对于任何非零向量\(x\),都有\(\parallel x\parallel>0\).
Part4:方阵的行列式和逆
一个方阵\(A_n=(a_{ij})_{n\times n}\)的行列式为
\[|A|=\det_n(a_{ij})
\]
若对于一个方阵\(A_n\),存在一个方阵\(B_n\),使得
\[AB=BA=I_n
\]
则称\(A\)是可逆的(reversible),\(B\)称为\(A\)的逆矩阵(inverse matrix),记为\(B=A^{-1}\).对于矩阵的逆,有以下性质:
\(1.\)矩阵的逆是惟一的.
\(2.\)逆矩阵的逆矩阵是矩阵本身.即,\((A^{-1})^{-1}=A\).
\(3.\)可逆矩阵的转置也可逆,且\((A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{\mathrm{T}})^{-1}\).
\(4.\)若矩阵可逆,则其满足消去律.即若\(A\)可逆,则\(AB=O\Rightarrow B=O\),\(AB=AC\Rightarrow B=C\).
\(5.\)设\(A_1,A_2,\dots,A_n\)都可逆,则
\[(\prod_{i=1}^n A_i)^{-1}=\prod_{i=1}^n A_{n-i+1}^{-1}
\]
特别地,有
\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]
伴随矩阵
定义,
\[A^{*}_{n\times m}=(A_{ij})_{n\times m}
\]
其中\(A_{ij}\)表示\(|A|\)中元素\(a_{ij}\)的代数余子式,称\(A^{*}\)为\(A\)的伴随矩阵(adjugate matrix).一般地,一个矩阵\(A\)可逆的充要条件是其行列式\(|A|\ne 0\),此时,
\[A^{-1}=\frac1{|A|}A^{*}
\]
这就是矩阵的求逆公式.
Part5:Gauss消元求逆
对于一个矩阵\(A\),用Gauss消元法求矩阵的逆的方法如下:
\(1.\)在\(A\)的右边添加一个\(n\)阶单位矩阵,记为\([A,I]\),该矩阵为\(n\times (2n)\)的;
\(2.\)进行Gauss消元,直到\([A,I]\)变为形如\([I,B]\)的形式,即左边是一个\(n\)阶单位矩阵,右边是一个矩阵\(B\),则\(B\)就是\(A\)的逆.
栗子:
如,我们有方阵
\[A=\begin{bmatrix}
1&1&1\\
1&1&2\\
1&2&3
\end{bmatrix}
\]
我们先在其右侧补上一个单位矩阵\(I\),则有
\[[A,I]=\begin{bmatrix}
1&1&1&1&0&0\\
1&1&1&0&1&0\\
1&2&3&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
在对这个矩阵进行Gauss消元,则有
\[[A,I]=\begin{bmatrix}
1&1&1&1&0&0\\
1&1&1&0&1&0\\
1&2&3&0&0&1
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
1&0&0&1&1&-1\\
0&1&0&1&-2&1\\
0&0&1&-1&1&0
\end{bmatrix}=[I,A^{-1}]
\]
所以\(A\)的逆矩阵为
\[A^{-1}=\begin{bmatrix}
1&1&-1\\
1&-2&1\\
-1&1&0
\end{bmatrix}
\]
Part6:矩阵的正定性
若某个\(n\times n\)的方阵\(A\),对于任意的\(n\)非零行向量\(x\),都有\(x^{\mathrm{T}}Ax>0\),则称\(A\)是正定的(positive definite).例如,单位矩阵\(I\)是正定的,因为对于任何的非零向量\(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\),都有
\[x^\mathrm{T}Ix=x^\mathrm{T}x=\sum_{i=1}^n x_i^2>0
\]
一般地,对于任何可逆方阵\(A\),\(A^{\mathrm T}A\)都是正定的.因为对于任意非零向量\(x\),都有
\[x^\mathrm{T}(A^{\mathrm T}A)x=(Ax)^{\mathrm T}(Ax)=\parallel Ax\parallel>0
\]
这是因为由于\(|A|\ne 0\),所以\(Ax=0\)当且仅当\(x=0\).
