Part1:几种特殊的行列式
\(1.\)上三角行列式:
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为上三角行列式,即主对角线下均为\(0\)的行列式,其值等于
\[D=\prod_{i=1}^n a_{ii}
\]
即主对角线上元素的乘积.
\(2.\)下三角行列式:
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&0&\dots&0\\
a_{21}&a_{22}&\dots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为下三角行列式,即主对角线上均为\(0\)的行列式,其值等于
\[D=\prod_{i=1}^n a_{ii}
\]
与上三角行列式相等.
\(3.\)次对角线行列式:
\[D=\begin{vmatrix}
0&\dots&0&a_{1n}\\
0&\dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{n(n-1)}&a_{nn}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11}&\dots&a_{1(n-1)}&a_{1n}\\
0&\dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\dots&0&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为次对角线行列式,其值都等于
\[D=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\prod_{i=1}^n a_{ii}
\]
\(4.\)范德蒙德行列式:
\[D=\begin{vmatrix}
1&1&\dots&1\\
a_1&a_2&\dots&a_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_1^n&a_2^n&\dots&a_n^n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1&a_1&\dots&a_1^n\\
1&a_2&\dots&a_2^n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&a_n&\dots&a_n^n
\end{vmatrix}
\]
称为范德蒙德(Vandermonde)行列式,其值等于:
\[D=\prod_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)
\]
范氏行列式的一个重要运用就是多项式中的Lagrange插值公式.
Part2:行列式的性质
\(1.\)行列式等于它的转置.所谓转置是指,
\[D^T=\det (a_{ji})=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{21}&\dots&a_{n1}\\
a_{12}&a_{22}&\dots&a_{n2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}=D.
\]
\(2.\)交换行列式的不相等的两行(列),行列式变号.我们把交换第\(i,j(i\ne j)\)行(列)的操作记作\(r_i\leftrightarrow r_j\)(\(c_i\leftrightarrow c_j\)).
\(3.\)将行列式的一行(列)乘以\(k\),整个行列式乘以\(k\).我们把将第\(i\)行(列)乘以\(k\)的操作记作\(r_i\times k\)(\(c_i\times k\)).
推论1: 行列式的一行全为\(0\),行列式等于\(0\).
推论2: 行列式某一行的公因子可以提到行列式外面.
\(4.\)把行列式的某行(列)元素的\(k\)倍,加到行列式的另一行(列)上,行列式不变.我们把将第\(i\)行(列)的\(k\)倍加到第\(j(i\ne j)\)行(列)的操作记作\(r_j+r_i\times k\)(\(c_j+c_i\times k\)).
推论3: 行列式的两行对应成比例,行列式等于\(0\).
上面的\(2,3,4\)性质称为行列式的行变换性质.
\(5.\)行列式的某行(列)的每个元素可以表示成两数的和,则行列式等于两个加数对应的替换该行(列)的行列式之和.如,设
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{nn}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{i1}+c_{i1}&b_{i2}+c_{i2}&\dots&b_{in}+c_{in}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{nn}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{i1}&b_{i2}&\dots&b_{in}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{nn}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{i1}&c_{i2}&\dots&c_{in}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
有了这些性质(主要是性质\(4\)),我们就可以把行列式转化为已知的行列式类型(大多数为三角行列式),快速求值.这种方法的本质是Gauss消元(Gaussian elimination).
Part3:Gauss消元求行列式
栗子:求
\[D=\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
4&2&5\\
2&0&2
\end{vmatrix}
\]
解:
\[\begin{align}
D&{\xlongequal{r_2+r_1\times -2}}
\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
0&4&-1\\
2&0&2
\end{vmatrix}\\
&{\xlongequal{r_3+r_1\times (-1)}}
\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
0&4&-1\\
0&1&-1
\end{vmatrix}\\
&{\xlongequal{r_2\leftrightarrow r_3}}-
\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
0&1&-1\\
0&4&-1
\end{vmatrix}\\
&{\xlongequal{r_3+r_2\times (-4)}}-
\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
0&1&-1\\
0&0&3
\end{vmatrix}\\
&=-(2\times1\times3)=-6.
\end{align}
\]
Gauss消元算法是\(O(n^3)\)的.运用熟练之后,是非常快的行列式求值方法.
本文完
