傅里叶变换三部曲(二)·傅里叶变换的定义
Part1:傅里叶级数的复数形式
设\(f(x)\)是周期为\(l\)的周期函数,若
\[f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin \frac{n\pi x}l),\\
a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}l\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\
b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}l\mathrm dx.(n=1,2,\dots)
\]
记\(\omega=\frac{\pi}l\),引进复数形式:
\[\cos n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2,\sin n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i}
\]
级数化为
\[\begin{align}
f(x)&\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2+b_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i})\\
&=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x})
\end{align}
\]
令\(c_0=\frac{a_0}2,c_n=\frac{a_n-\mathrm ib_n}2,d_n=\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\),则
\[\begin{align}
c_0&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm dx,\\
c_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x-\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,\\
d_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x+\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}\mathrm dx\\
&\triangleq c_{-n}=\bar{c_n},(n=1,2,\dots)
\end{align}
\]
合并为
\[c_n=\frac{1}{2l}=\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,(n\in \Z)
\]
级数化为
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}=\frac{1}{2l}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx\right]\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}
\]
我们称\(c_n\)为\(f(x)\)的离散频谱(discrete spectrum),\(|c_n|\)为\(f(x)\)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),\(\arg c_n\)为\(f(x)\)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).
对任何一个非周期函数\(f(t)\)都可以看成是由某个由某个周期为\(l\)的函数\(f(x)\)当\(l\to\infty\)时得来的.
Part2:傅里叶积分和傅里叶变换
傅里叶积分公式
设\(f_T(t)\)是周期为\(T\)的周期函数,在\([-\frac T2,\frac T2]\)上满足狄利克雷条件,则
\[f_T(t)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t},\omega=\frac{2\pi}T
\]
(上式中\(\mathrm j\)是虚数单位,在傅里叶分析中我们不用\(\mathrm i\)而通常记作\(\mathrm j\))由\(\lim\limits_{T\to\infty}f_T(t)=f(t)\)知,
\[f(t)=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t}
\]
记\(\Delta \omega=\frac{2\pi}T\),则\(\Delta\omega\to 0\Leftrightarrow T\to\infty\),则
\[\begin{align}
f(t)&=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t}\\
&=\lim_{\Delta \omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega
\end{align}
\]
令\(F_T(n\omega)=\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\),则
\[f(t)=\lim_{\Delta\omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_T(n\omega)\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega,\\
F_T(t)\to \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\triangleq F(\omega)(T\to\infty),
\]
由定积分定义\(f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm d\omega\),即
\[\boxed{f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega}
\]
上述公式称为傅里叶积分公式.
傅里叶积分存在定理
若\(f(t)\)在任何有限区间上满足狄利克雷条件,且在\(\R\)上绝对可积,则
\[\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega=
\begin{cases}
f(t),t\text{为连续点},\\
\frac{f(t^-)+f(t^+)}2,t\text{为间断点}.
\end{cases}
\]
傅里叶变换
设\(f(t)\)满足傅里叶积分存在定理,定义
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt
\]
为\(f(t)\)的傅里叶变换(Fourier Transform)(实际上是一个实自变量的复值函数),记作
\[F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right]
\]
类似地,定义
\[f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega
\]
为\(F(\omega)\)的傅里叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作
\[f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]
\]
在一定条件下,有
\[\mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega)\Rightarrow\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t);\\
\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t)\Rightarrow\mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega).
\]
\(f(t)\)与\(F(\omega)\)在傅氏变换意义下是一个一一对应,称\(f(t)\)与\(F(\omega)\)构成一个傅氏变换对,记作
\[f(t)\overset{\underset{\mathcal{F}}{}}{\leftrightarrow}F(\omega)
\]
在不引起混淆的情况下,简记为\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).\(f(t)\)称为原象函数(original image function),\(F(\omega)\)称为象函数(image function).
在频谱分析中,\(F(\omega)\)又称为\(f(t)\)的频谱(密度)函数(spectrum function),\(|F(\omega)|\)称为\(f(t)\)的振幅频谱(amplitude spectrum),\(\arg F(\omega)\)称为\(f(t)\)的相位频谱(phase spectrum).
下面我们来求几个常见信号函数的傅氏变换.
例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)
\[R(t)=\begin{cases}
1,|t|\le 1,\\
0,|t|>1
\end{cases}
\]
的傅氏变换及其频谱积分表达式.
解:
\[\begin{align}
F(\omega)&=\mathcal{F}[R(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_{-1}^1 R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t\\
&=\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}}{-\mathrm j\omega}\right]^1_{-1}\\
&=-\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega}-\mathrm{e}^{\mathrm j\omega}}{\mathrm j\omega}=\frac{2\sin\omega}{\omega};\\
R(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F(\omega)\cos\omega t\mathrm d\omega\\
&=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{2\sin\omega}\omega\cos\omega t\mathrm d\omega=\frac2{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{\sin\omega\cos\omega t}{\omega}\mathrm d\omega\\
&=\begin{cases}
1,|t|<1,\\
\frac12,|t|=1,\\
0,|t|>1
\end{cases}
\end{align}
\]
因此可知,当\(t=0\)时,有
\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}x\mathrm dt=\frac{\pi}2
\]
例2 求指数衰减函数(exponential decay function)
\[E(t)=\begin{cases}
0,t<0,\\
\mathrm{e}^{-\beta t},t\ge 0
\end{cases}
\]
的傅氏变换及其频谱积分表达式,其中\(\beta>0\)为常数.
解:
\[\begin{align}
F(\omega)&=\mathcal{F}[E(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}E(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-\beta t}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{(\beta+\mathrm j\omega)t}\mathrm dt=\frac1{\beta+\mathrm j\omega}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\\
E(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega\\
&=\frac1{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\beta\cos\omega t+\omega\sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm d\omega=\begin{cases}
0,t<0,\\
\frac12,t=0,\\
\mathrm{e}^{-\beta t},t>0
\end{cases}
\end{align}
\]
Part3:单位脉冲函数
我们记电流脉冲函数
\[q(t)=\begin{cases}
0,t\ne 0,\\
1,t=0,
\end{cases}
\]
严格地,由于\(q(t)\)在\(t=0\)出不连续,所以\(q(t)\)在\(t=0\)点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有
\[q'(0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{q(0+\Delta t)-q(0)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}-\frac1{\Delta t}=\infty
\]
我们引进这样一个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为\(\delta-\)函数,即
\[\delta(t)=\begin{cases}
0,t\ne 0,\\
\infty,t=0,
\end{cases}
\]
一般地,给定一个函数序列
\[\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases}
0,t<0,\\
\frac1{\varepsilon},0\le t\le \varepsilon,\\
0,t>\varepsilon
\end{cases}
\]
则有
\[\delta(t)=\lim_{\varepsilon\to 0}\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases}
0,t\ne 0,\\
\infty,t=0
\end{cases}
\]
于是
\[\boxed{
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac1{\varepsilon}\mathrm dt=1
}
\]
若设\(f(t)\)为连续函数,则\(\delta-\)函数有以下性质:
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm dt=f(0);\\
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)\mathrm dt=f(t_0)
\]
于是我们可得:
\[\mathcal{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t=\left.\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\right|_{t=0}=1
\]
于是\(\delta(t)\)与常数\(1\)构成了一对傅里叶变换对.
例3: 证明:
\[\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)
\]
其中\(\omega_0\)是常数.
证:
\[\begin{align}
f(t)&=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\
&=\left.\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\right|_{\omega=\omega_0}=\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t}
\end{align}
\]
在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件
\[\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm dt<\infty
\]
例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数\(f(t)\)和象函数\(F(\omega)\)构成一个傅氏变换对.
例 求正弦函数\(f(t)=\sin\omega_0 t\)的傅氏变换.
解:
\[\begin{align}
F(\omega)&=\mathcal F[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0} t-\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega_0 t}}{2\mathrm j}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\\
&=\frac1{2\mathrm j}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega-\omega_0)t}-\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega+\omega_0)t}\right)\mathrm dt\\
&=\mathrm{j}\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)\right]
\end{align}
\]
同样我们易得
\[\mathcal{F}(\cos \omega_0 t)=\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\right]
\]
例 证明:单位阶跃函数(unit step function)
\[u(t)=\begin{cases}
0,t<0,\\
1,t>0
\end{cases}
\]
的傅氏变换为
\[\mathcal F[u(t)]=\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega)
\]
证:
\[\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega)\right]&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\
&=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\cos\omega t+\mathrm j\sin\omega t}{\mathrm j\omega}\right]\mathrm d\omega\\
&=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega=\frac12+\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega\\
\int_0^{+\infty}\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm d\omega&=\begin{cases}
\frac{\pi}2,t>0,\\
-\frac{\pi}2,t<0
\end{cases}\Rightarrow\\
\mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]&=\begin{cases}
\frac12+\frac1{\pi}\left(-\frac{\pi}2\right)=0,t<0\\
\frac12,t=0,\\
\frac12+\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2\right)=1,t>0
\end{cases}=u(t).
\end{align}
\]
本文完
The man who follow the shadow is just the shadow itself.
