漫谈斐波那契数列

Update on 2019.10.9 增加了斐波那契生成函数

Part1:斐波那契数列的定义

斐波那契数列(Fibonacci sequence)是从所谓的兔子繁殖问题定义的.假设每只兔子过\(2\)个月就有繁殖能力,每个月产下一只兔子.如果兔子不死,那么在第\(n\)个月你有多少只兔子?

设第\(n\)个月有\(F_n\)只兔子,显然\(F_1=F_2=1\).根据打表找规律可得

\[F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge3). \]

该数列从第三项起m每一项都是前两项的和.这就是斐波那契数列.根据计算可得,斐波那契数列的前几项是

\[F_1=1,F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5,F_6=8,F_7=13,F_8=21,F_9=34,F_{10}=55,F_{11}=89,F_{12}=144,\dots \]

Part2:通项公式

根据定义,斐氏数列是一个线性递推数列.其特征方程为

\[x^2=x+1 \]

因此有\(x_1=\frac{1-\sqrt 5}2,x_2=\frac{1+\sqrt 5}2\)(这两个数就是我们后面要介绍的黄金分割率).设\(F_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n\),

\(\because F_1=F_2=1\)
\(\therefore C_1x_1+C_2x_2=C_1x_1^2+C_2x_2^2=1\)

解得\(C_1=\frac1{\sqrt5},C_2=-\frac1{\sqrt5}\).

所以斐波那契数列的通项公式为

\[F_n=\frac1{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right] \]

多神奇啊!斐波那契数列竟可以被无理数表示出.

Part3:斐波那契数列的性质

\(1.\)邻项方差:

\[F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n \]

用数学归纳法易证.

\(2.\)通项求和:

\[\sum_{i=1}^n F_n=F_{n+2}-2 \]

证明:

\[F_1=F_2,\\ F_2=F_3-F_1,\\ \dots,\\ F_n=F_{n+1}-F{n-1} \]

所以原式成立.

\(3.\)奇数项求和:

\[\sum_{i=1}^n F_{2i-1}=F_{2n} \]

证明:

\[F_1=F_2,\\ F_3=F_4-F_2,\\ \dots,\\ F_{2n-1}=F_{2n}-F_{2n-2} \]

所以原式成立.

\(4.\)偶数项求和:

\[\sum_{i=1}^n F_{2i}=F_{2n+1}-1 \]

把通项求和公式和奇数项求和公式减一下就好了.

\(5.\)平方求和:

\[\sum_{i=1}^n F_{i}^2=F_{n+1}F_n \]

仿照上例证明展开即可.更直观地,

如图,易知正方形面积和=边长之积,也就是上述平方和公式.

\(6.\)两倍项关系

\[\frac{F_{2n}}{F_n}=F_{n-1}+F_{n+1} \]

展开既得.

\(7.\)倒数求和

\[\sum_{i=1}^n\frac1{F_{i-1}+F_{i+1}}=1-\frac1{F_{n-1}F_n}\\ \sum_{i=1}^n\frac{F_i}{F_{i-1}F_{i+1}}=2-\frac1{F_{n-1}}-\frac1{F_n} \]

裂项即可.证明略.

\(8.\)三倍项关系

\[F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3 \]

证明略.

\(9.\)公约数

\[\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)} \]

证明:欲证\(\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)}\),只需证\(\gcd(F_{n+m},F_n)=\gcd(F_m,F_n)\).又

\[\begin{align} \gcd(F_{n+m},F_n) &=\gcd(F_{n+1}F_m+F_nF_{m-1},F_n)\\ &=\gcd(F_{n+1}F_m,F_n)\\ &=\gcd(F_{n+1},F_n)\cdot\gcd(F_m,F_n)\\ &=\gcd(F_m,F_n)=\gcd(F_m,F_n) \end{align} \]

故原式成立.

作为该结论的直接推论,有\(\gcd(F_n,F_{n+1})=1\).即斐氏数列的邻项互质.

\(10.\)带权和

\[\sum_{i=1}^n i\cdot F_i=n\cdot F_{n+2}-F_{n+3}+2 \]

证明:运用数学归纳法.当\(n=1\)时,命题成立.

设当\(n=k\)时,命题成立,令\(S_i=\sum\limits_{i=1}^ni\cdot F_i\),则

\[\begin{align} S_{k+1}&=S_k+F_{k+1}\cdot(k+1)\\ &=k\cdot F_{k+2}-F_{k+3}+2+F_{k+1}\cdot (k+1)\\ &=k\cdot F_{k+3}-F_{k+3}+2+F_{k+1}\\ &=k\cdot F_{k+3}-F_{k+2}+2\\ \end{align} \]

所以原命题成立.

Part4:黄金分割率

将一条线段分成两部分,使得其中一段的长度与全长之比,等于另一段与该线段长度之比,这,就是黄金分割率.

根据其定义,我们设\(\varphi=x\)(\(\varphi\)通常表示黄金分割率),则

\[x^2+x-1=0 \]

解得

\[x_1=\frac{\sqrt5-1}2,x_2=\frac{-\sqrt5-1}2(\text{舍}) \]

因此,\(\varphi=\frac{\sqrt5-1}2\approx 0.618\).

下面来讨论\(\varphi\)的性质.记\(\hat \varphi=\frac{\sqrt5+1}2\),称为\(\varphi\)的共轭.

\(1.\varphi=\frac1{\hat{\varphi}}\).这是因为

\[\varphi\cdot\hat{\varphi}=\frac{\sqrt5-1}2\frac{\sqrt5+1}2=1 \]

\(2.\varphi+\varphi^2=1\).由定义既得.

\(3.\varphi+1=\frac1{\varphi}\).由\(2\)可推得.

Part5:斐波那契数列与黄金分割率

我们尝试除斐氏数列的邻项.有

\[\frac{F_1}{F_2}=1,\frac{F_2}{F_3}=0.5,\frac{F_3}{F_4}\approx0.667,\frac{F_4}{F_5}=0.6,\frac{F_5}{F_6}=0.625,\dots \]

可以发现,相邻两项之比不断趋近于黄金分割率.更直观地,

\[\frac{F_{20}}{F_{21}}\approx0.618033985017358;\\ \varphi\approx0.6180339887498949 \]

直到第\(10\)位才出现不同.那么,是否有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\varphi \]

呢?答案是肯定的.

\[F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \]

两边同除\(F_{n+1}\)

\[\frac{F_n}{F_{n+1}}+1=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \]

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}\)存在(存在性是显然的)且等于\(x\),则

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}=x \]

所以

\[x+1=\frac1x \]

\(x>0\),所以\(x=\varphi\).

Part6:斐波那契数列的生成函数

我们要求其生成函数,即

\[G(x)=F_0+F_1x+F_2x^2+\dots+F_nx^n+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n \]

我们知道有

\[F_n=\frac1{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right] \]

\[\begin{align} G(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}F_n=\frac1{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right]\cdot x^n\\ &=\frac1{\sqrt5}\left[\sum_{n=0}^n\left(\frac{1+\sqrt5}2\cdot x\right)^n+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1-\sqrt5}2\cdot x\right)\right]\\ &=\frac1{\sqrt5}\left(\frac1{\frac{1+\sqrt5}2x}+\frac1{\frac{1-\sqrt5}2x}\right)\\ &=\frac1{\sqrt5}\frac{\sqrt5}{1-x-x^2}\\ &=\frac1{1-x-x^2} \end{align} \]

于是我们知道了斐波那契数列的生成函数为

\[G(x)=\frac1{1-x-x^2} \]

本文完

posted @ 2019-08-07 10:24  Anverking  阅读(804)  评论(0编辑  收藏  举报