Part1:从解方程组谈起
栗子:试讨论以下方程的解.
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\qquad(1)\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\qquad(2)
\end{cases}
\]
解:将\((1)\)乘以\(a_{21}\),\((2)\)乘以\(a_(11)\)有
\[\begin{cases}
a_{11}a_{21}x_1+a_{12}a_{21}x_2=a_{21}b_1\qquad(3)\\
a_{11}a_{21}x_1+a_{22}a_{11}x_2=a_{11}b_2\qquad(4)
\end{cases}
\]
消去\(x_1\)有
\[(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-a_{21}b_1
\]
即
\[x_2=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
\]
重复对\(x_2\)消元,有
\[x_1=\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
\]
当\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne0\)时,方程组有唯一解;
当\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0\)时,若\(a_{11}b_2-a_{21}b_1=a_{22}b_1-a_{12}b_2=0\),则方程有无穷多组解;否则,方程无解.
为了方便,我们引入记号
\[\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]
称为二阶行列式(determinant).于是,记
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}
\]
称为方程组的系数行列式,而
\[D_1=\begin{vmatrix}
b_1&a_{12}\\
b_2&a_{22}
\end{vmatrix},
D_2=\begin{vmatrix}
a_{11}&b_1\\
a_{21}&b_2
\end{vmatrix}
\]
分别称为是用常数列\((b_1,b_2)\)替换系数行列式第\(1,2\)列得到的行列式.于是,方程组的解就可以表示为
\[x_1=\frac{D_1}D,x_2=\frac{D_2}D,D\ne0
\]
Part:三阶行列式
考虑以下方程组:
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
\end{cases}
\]
引入
\[\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}\\
\begin{align}
&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}\\
&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{align}
\]
称为三阶行列式,令
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix},
D_1=\begin{vmatrix}
b_1&a_{12}&a_{13}\\
b_2&a_{22}&a_{23}\\
b_3&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix},
D_2=\begin{vmatrix}
a_{11}&b_1&a_{13}\\
a_{21}&b_2&a_{23}\\
a_{31}&b_3&a_{33}
\end{vmatrix},
D_3=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&b_2\\
a_{31}&a_{32}&b_3
\end{vmatrix},
\]
则方程组的解可表示为:
\[x_1=\frac{D_1}D,x_2=\frac{D_2}D,x_3=\frac{D_3}D
\]
为方便记忆,对于三阶行列式有对角线法则:
红线上的数相乘取正号,蓝线上的数相乘取负号,相加即可.
栗子:计算行列式
\[D=\begin{vmatrix}
2&0&1\\
1&-4&-1\\
-1&8&3
\end{vmatrix}
\]
解:由对角线法则,
\[\begin{align}
D&=2\times(-4)\times3+0\times(-1)\times(-1)+1\times1\times8\\
&-1\times(-4)\times(-1)-0\times1\times3-2\times(-1)\times8\\
&=-24+8-4+16=-4.
\end{align}
\]
Part3:\(n\)阶行列式
定义:对于\(n\times n\)个数组成的数表
\[\begin{matrix}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{matrix}
\]
称
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为这\(n\times n\)个数排成的\(n\)阶行列式,记作
\[D=\det_n(a_{ij})=|a_{ij}|_n
\]
其中,\(a_{ij}\)称为行列式的元素.
行列式的计算规则为
\[D=\sum_{p\in\Omega}\left[\left(-1\right)^{\sigma(p)}\prod_{i=1}^n a_{ip_i}\right]
\]
其中,\(\Omega\)是\(1,2,\dots,n\)全体排列(\(n!\)个)构成的集合,\(\sigma(p)\)表示排列\(p\)中的逆序对个数,即所有满足\(i<j\)且\(p_i>p_j\)的\((i,j)\)的对数.
克拉默法则
对于一个\(n\)元方程组
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\
\vdots\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n
\end{cases}
\]
记
\[D=\det_n(a_{ij})=\begin{vmatrix}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为该方程组的系数行列式,而
\[D_{i}=\begin{vmatrix}
a_{11}&\dots&a_{1(i-1)}&b_1&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&\dots&a_{2(i-1)}&b_2&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{n(i-1)}&b_n&\dots&a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
为将系数行列式中的第\(i\)列替换为\((b_1,b_2,\dots,b_n)\)的行列式,\(i=1,2,\dots,n\),则当\(D\ne0\)时,方程组有唯一解
\[x_i=\frac{D_i}D,i=1,2,\dots,n
\]
当\(D=0\)且
\[D_1=D_2=\dots=D_n=0
\]
时,方程组有无穷多组解;否则,方程组无解.上述关于行列式和线性方程组的结论称为克拉默法则(Cramer's Rule),可以方便地计算方程组的解.
Part4:行列式的按行展开
显然,根据定义计算行列式是非常繁琐的,从分析学上讲,这样的复杂度至少是\(O(n!\cdot n\log n)\)的.于是,我们应当尽量简化计算.
余子式的定义
对于行列式\(D=\det_n(a_{ij})\)的某个元素\(a_{ij}\),将其所在行和列的所有元素都去掉所构成的\(n-1\)阶行列式称为\(a_{ij}\)的余子式(cofactor),记为\(M_{ij}\).比如,对于四阶行列式
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
\end{vmatrix}
\]
\(a_{22}\)的余子式就等于
\[M_{22}=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{13}&a_{14}\\
a_{31}&a_{33}&a_{34}\\
a_{41}&a_{43}&a_{44}
\end{vmatrix}.
\]
特别地,定义\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\),称为\(a_{ij}\)的代数余子式.
行列式降阶
任何一个行列式等于其某一行(列)的元素与其代数余子式的乘积之和.即,设选取的行(列)为\(j\),则
\[D=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^n a_{ji}A_{ji}.
\]
比如,对于三阶行列式,有
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}\\
\begin{align}
&=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\
&=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\\
&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}\\
&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{align}
\]
这样,就可以把\(n\)阶行列式的计算转化为\(n\)个\(n-1\)阶行列式的计算,如此降阶下去,直到降为\(2\)阶,即可直接计算,复杂度就降到了\(O(n!)\).然而,尽管如此,行列式的计算还是很慢.之后,我们会介绍快速的\(O(n^3)\)高斯消元法.
本文完
