二进制与位运算(数学篇)

PS:本文主要介绍位运算的数学性质,和OI没有太大关联.

Part0:符号约定

$[p]$:艾弗森记号.对于命题$p$,当$p$成立时,$[p]$为$1$,否则为$0$.

$x_i$:$x$在二进制下的第$i$位数.

Part1:二进制

对于任意的非负整数$x$,众所周知,其可以表示为:

$$x=\sum_{i=0}^n 10^i b_i$$

其中,$n=\lfloor \log_{10} x\rfloor,b_i\in\{0,1,2,\dots,9\}(i=1,2,\dots,n)$.我们把该式中的所有$10$都换成$2$,则有:

$$x=\sum_{i=0}^n 2^i b_i$$

其中,$n=\lfloor \log_2 x\rfloor,b_i\in\{0,1\}(i=1,2,\dots,n)$.我们将数位

$$\overline{b_n b_{n-1} \dots b_1 b_0}_{(2)}$$

称为$x$的二进制(分解),这种分解是惟一的.为方便,我们在本文中简记$x_i=b_i$,为$x$在二进制下的第$i$位数.

Part2:二进制递推式与位移运算

我们来考虑$x,\lfloor \frac x2\rfloor,2x$二进制之间的关系.因

$$x=\sum_{i=0}^n 2^i x_i$$

故有

$$\left\lfloor \frac x2\right\rfloor=\left\lfloor \frac{\sum\limits_{i=0}^n2^i x_i}2\right\rfloor=\left\lfloor \frac{\sum\limits_{i=1}^n 2^i x_i}2 + \frac{x_0}2\right\rfloor$$

显然左边的加数整除$2$.又$x_0\in\{0,1\}$,故$\frac{x_0}2=0$.所以

$$\left\lfloor \frac x2\right\rfloor=\sum_{i=1}^n 2^{i-1}x_i=\sum_{i=0}^{n-1} 2^i x_{i+1}$$

这相当于把整个二进制往右移$1$位,并把不为整数的部分截掉,比如,$11=1011_{(2)}$,则

$$\left\lfloor\frac{11}2\right\rfloor=\left\lfloor \frac{1011_{(2)}}2\right\rfloor=101_{(2)}=5$$

再来考虑$2x$.

因

$$x=\sum_{i=0}^n 2^i x_i$$

故

$$2x=\sum_{i=0}^n 2^{i+1} x_i=\sum_{i=1}^{n+1} 2^i x_{i-1}$$

这相当于把整个二进制往左移$1$位,并在低位补全零,比如,$6=110_{(2)}$,则

$$2\times 6=2\times{110_{(2)}}=1100_{(2)}=12$$

更一般地,有

$$\left\lfloor\frac{x}{2^k}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{n-k}2^i x_{i+k}\\ 2^kx=\sum_{i=k}^{n+k}2^i x_{i-k}$$

其中$k\in\mathbb{N}^+$.我们把这两种运算分别称为右移(right shift)和左移(left shift),分别记为

$$x\gg k=\left\lfloor\frac{x}{2^k}\right\rfloor\\ x\ll k=2^kx$$

特别地,当$k>n$时,$x\gg k=0$.右移的意义是将二进制往右移$k$位,并将不为整数的部分截掉;左移的意义是讲二进制往左移$k$位,并在低位补全零.我们很容易得到:

$$x=(x\gg1)\ll1 + (x\bmod 2)$$

这就是二进制的递推式.亦即:

$$x=2\left\lfloor\frac x2\right\rfloor+(x\bmod 2)$$

这样就可以快速地求出一个非负整数的二进制表示了.

Part3:与运算和或运算

对于两个非负整数$x,y$,设

$$x=\sum_{i=0}^n 2^ix_i,\\ y=\sum_{i=0}^m2^iy_i,$$

定义

$$x\ \text{and}\ y=x\land y=\sum_{i=0}^{\min\{n,m\}}2^i[x_i=1\land y_i=1]=\sum_{i=0}^{\min\{n,m\}} 2^i x_iy_i=\sum_{i=0}^{\min\{n,m\}}2^i\left\lfloor\frac{x_i+y_i}2\right\rfloor$$

为$x$与$y$的与运算(and operation).而

$$x\ \text{or}\ y=x\lor y=\sum_{i=0}^{\max\{n,m\}} 2^i[x_i=1\lor y_i=1]=\sum_{i=0}^{\max\{n,m\}} 2^i \left\lceil\frac{x_i+y_i}2\right\rceil$$

为$x$与$y$的或运算(or operation).显然有

$$x\land y\le\max\{x,y\}\\ x\lor y\ge\min\{x,y\}$$

Part4:取反

一个数的取反运算(not operation)定义为

$$\lnot x=\sum_{i=0}^n 2^i[x_i=0]$$

相当于把值为$1$的位改成$0$,把值为$0$的位改成$1$.一般地,有

$$x+\lnot x=2^{n+1}-1,\\ \lnot\lnot x=x.$$

Part5:异或

这是我们要重点讨论的位运算.其定义为

$$x\ \text{xor}\ y=x\oplus y=\sum_{i=0}^{\max\{n,m\}}2^i[x_i\ne y_i]=\sum_{i=0}^{\max\{n,m\}}2^i(x_i+y_i\mod 2)$$

显然有$|x-y|\le x\oplus y\le x+y$.容易验证,异或运算(exclusive or operation,xor operation)具有以下性质:

$1.$交换性:$x\oplus y=y\oplus x$.

$2.$结合性:$x\oplus y\oplus z=(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$.

$3.$幂零性:$x\oplus x=0$.

$4.$还原性:$x\oplus y\oplus x=y$.特别地,有$x\oplus 0=0\oplus x=x$.

$4'.$转换性:$w=x\oplus y\oplus z\Rightarrow x=w\oplus y\oplus z$.

$5.$与其它位运算的关系:$x\oplus y=(\lnot x\land y)\lor(x\land\lnot y)$.

Part6:位运算方程

我们把形如只含有以下三种运算的方程叫做位运算方程(组)(bit operation equations):

$1.$位移常数

$2.$异或

$3.$取反

显然,这几种运算是可逆的.先来一道简单题.考虑位运算方程组

$$\begin{cases} x\oplus y=z\\ \lnot z=4\\ x\gg 2=1 \end{cases}$$

根据第三个方程,易知

$$x=1\ll 2=4.$$

根据第二个方程,有

$$z=\lnot 4=3.$$

因此,

$$y=z\oplus x=3\oplus 4=7.$$

所以原方程组的解为

$$\begin{cases} x=4,\\ y=7,\\ z=3. \end{cases}$$

再来考虑位运算方程组:

$$\begin{cases} x\oplus y\oplus z=w\\ (\lnot x)\oplus y=6\\ x\gg 2=1\\ z\oplus (\lnot y)=9 \end{cases}$$

显然有$x=4$.进一步带入第二个方程有

$$y=6\oplus(\lnot x)=6\oplus 3=5.$$

故得

$$z=9\oplus (\lnot y)=9\oplus 2=11.$$

于是

$$w=x\oplus y\oplus z=4\oplus 5\oplus 11=10.$$

因此原方程组的解为

$$\begin{cases} x=4,\\ y=5,\\ z=11,\\ w=10. \end{cases}$$

本文完