熵

1.   信息量 

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：

事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。

事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。

仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为C,概率分布函数$p(x)=P(X=x),x\in C$，则定义事件$X=x_0$的信息量为：

$I(x_0)=−log(p(x_0))$

由于是概率所以$p(x_0)$的取值范围是[0,1],绘制为图形如下：

可见该函数符合我们对信息量的直觉

 

2.   熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率 $p(x_i)$

这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

 

 

 我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

 

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式： 

 

3.   相对熵

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]

直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：

n为事件的所有可能性。

$D_{KL}$的值越小，表示q分布和p分布越接近。

 

4.   交叉熵

对相对熵做如下变化：

 

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||\hat{y})$ ，由于KL散度中的前一部分$−H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。