级数初步

写在前面：

　　高考复习笔记

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定义
历史
常见类型

有穷数列、无穷数列
递增数列、递减数列、摆动数列
周期数列
常数列
等差数列、等比数列

典型数列

斐波那契数列
卡特兰数
杨辉三角

其他

常用数列求和解题方法
证明数列不等式的常用方法

定义

　　级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数

　　典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等

——bia度百科

　　数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用a_n表示

　　著名的数列有斐波那契数列，卡特兰数，杨辉三角等

——bia度百科

历史

　　数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《周髀算经》里谈到：“在周城的平地立八尺高的周髀（即表竿），日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸55/6分；夏至影最短，仅长1尺6寸，以后每一节气又递增9寸55/6分”。这是等差数列的概念。《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”。这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载。我国古代还给出了一个无穷递缩等比数列，记载在《庄子·天下篇》中：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”而《九章算术》“衰分”一章，主要讲的就是分配比例及等差、等比数列等问题

　　在外国数学发展的早期也有许多人研究过数列这一课题。例如，在古巴比伦晚期的泥版文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，兄长最多，以此减少相同数目。现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？又如，在古埃及《阿美斯纸草书》上画有一图，在7、49、343、2401、16807数字边分别画着人、猫、鼠、大麦和量器。只有画作，却没有任何文字说明，因此成了一道流传的数谜。后人解出了这道数谜，认为图案要表达的意思是说：有7个人，每人畜养7只猫，每只猫捕食7只老鼠，而每只老鼠先前偷食了7株麦穗，每株麦穗能装满7个量杯......这可算是最早的等比数列了

——http://www.360doc.com/content/16/0720/10/26166517_576971392.shtml

常见类型

　　有穷数列、无穷数列

　　　　项数有限的数列为“有穷数列”；项数无限的数列为“无穷数列”

　　递增数列、递减数列、摆动数列

　　　　从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列

　　　　从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列

　　　　从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）

　　周期数列

　　　　各项呈周期性变化的数列叫做周期数列

　　常数列

　　　　各项相等的数列叫做常数数列

　　等差数列、等比数列

　　　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示

　　　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示

典型数列

　　斐波那契数列

　　斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家Fibonacci以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”

　　在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：

F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

矩阵乘法得第n项C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register
 3 
 4 typedef long long int ll;
 5 using namespace std;
 6 
 7 int const MOD=100007;
 8 int n;
 9 struct MART{ll mart[2][2];}base;
10 
11 MART mul(MART a,MART b)
12 {
13     MART ans;
14     memset(ans.mart,0,sizeof(ans.mart));
15     for(re int i=0;i<=1;++i)
16         for(re int j=0;j<=1;++j)
17             for(re int k=0;k<=1;++k)
18             {
19                 ans.mart[i][j]+=a.mart[i][k]*b.mart[k][j];
20                 ans.mart[i][j]%=MOD;
21             }
22                 
23     return ans;
24 }
25 
26 MART martxmul(int k)
27 {
28     MART ans;
29     ans.mart[0][0]=2;ans.mart[0][1]=1;
30     ans.mart[1][0]=1;ans.mart[1][1]=1;
31     while(k){
32         if(k&1) ans=mul(ans,base);
33         k>>=1;
34         base=mul(base,base);
35     }
36     return ans;
37 }
38 
39 int main(int arg,char *argv[],char *enc[])
40 {
41     base.mart[0][0]=1;base.mart[0][1]=1;
42     base.mart[1][0]=1;base.mart[1][1]=0;
43     
44     scanf("%d",&n);
45     
46     printf("%d",martxmul(n-3).mart[0][0]);
47     
48     return 0;
49 }

　　卡特兰数

　　　　卡特兰数又称卡塔兰数（Catalan number），是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，以比利时的数学家Catalan的名字来命名

　　　　卡特兰数C_n满足以下递推关系：

卡特兰数解决出入栈方案数问题C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register
 3 
 4 typedef long long int ll;
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int MAXN=10010;
 8 ll h[MAXN],n;
 9 
10 /*
11 h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)h(0)
12 (n>=2)
13 */
14 int main(int arg,char *argv[],char *enc[]){
15     scanf("%lld",&n);
16     h[0]=1;h[1]=1;
17     for(re ll i=2;i<=n;i++)
18         for(re ll j=0;j<=i-1;j++)
19             h[i]+=h[j]*h[i-j-1];
20     for(re ll i=0;i<=n;i++)
21         printf("h[%lld]        %lld\n",i,h[i]);
22     return 0;
23 }
24 /*
25 首先，我们设h(n)=序列个数为n的出栈序列种数
26 (栈直到整个过程结束时才空)
27 */

　　杨辉三角

　　　　杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列

　　　　在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，书中载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。而在欧洲，Pascal在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做Pascal三角形

输出杨辉三角图形前n行C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn=15,m=2*maxn-1;
 7 int n,tmp;
 8 int arr[maxn+1][m]={0};
 9 
10 int main(int arg,char *argv[],char *enc[]){
11     scanf("%d",&n);
12     for(re int i=0;i<n;++i){
13         arr[i][n-i-1]=1;
14         arr[i][n+i-1]=1;
15  
16     }
17     for(re int i=2;i<n;++i)
18         for(re int j=n-i+1;j<n-2+i;j=j+2)
19             arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j+1];
20     for(re int i=0;i<n;++i){
21         //for(re int j=0;j<n-i-1;++j) cout << "    ";
22         tmp=1;
23         for(re int j=n-i-1;tmp<i+2;j=j+2){
24             cout << setw(4) << arr[i][j] << "    ";
25             ++tmp;
26         }
27         cout<<endl;
28     }
29     return 0;
30 }