整数分解费马方法

写在前面：

　　这篇博客是我在[◹]对 算术基本定理 的研究 中的一部分

 

整数分解废马方法

• 整数分解费马方法

　　整数分解费马方法与费马小定理无关

　　原理：

　　　　任何一个正整数n都能拆成n==2^k*a的形式，其中a为一个奇数

　　　　我们在a上搞事情：

　　　　　　若a==c*d (c>d，且显然cd都是奇数)

　　　　　　那么让x==(c+d)/2，让y==(c-d)/2

这里是逻辑上的证明，并不是计算机要实现的内容，根本不考虑丢精的情况(就算考虑了，cd都是奇数，不会丢精)

　　　　　　那么x²-y²==(c²+d²+2c*d)/4-(c²+d²-2c*d)/4==(4c*d)/4==c*d==a

　　　　枚举x²，看看x²-a是不是完全平方数

　　　　如果是的话，那么c==x+√(x²-a)和d==x-√(x²-a)就都是a的因子

　　　　可以枚举x²，找出a的所有因子！

　　有用的性质：

　　　　接着上面的证明，x==(c+d)/2，a==c*d

　　　　根据基本不等式，(c+d)/2 >= √(cd)

　　　　即x² >= a

　　　　在枚举时x² >= a时才有解

 

代码如下：

C++：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int tmp;

int ponySqrt(int x){
    if(x<=0) return -1;
    return (int)sqrt(x)*(int)sqrt(x)==x? (int)sqrt(x):-1;
}

int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
{
    scanf("%d",&n);
    
    printf("%d==1",n);
    
    while(n%2==0){
        n/=2;
        printf("*2");
    }

    for(int i=(int)sqrt(n);;++i){
        tmp=ponySqrt(i*i-n);
        if(tmp!=-1){
            printf("*%d*%d",i+tmp,i-tmp);
            n/=(i+tmp);
            n/=(i-tmp);
            if(n<=1) break;
            i=(int)sqrt(n);
        }
    }
    return 0;
}

Java：

import java.util.Scanner;
import java.lang.Math;

class Pony{
    
    static int n,tmp;

    static int ponySqrt(int x){
        if(x<=0) return -1;
        return (int)Math.sqrt(x)*(int)Math.sqrt(x)==x? (int)Math.sqrt(x):-1;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception
    {
        Scanner cin=new Scanner(System.in);

        n=cin.nextInt();

        System.out.printf("%d==1",n);

        while(n%2==0){
            n/=2;
            System.out.printf("*2");
        }

        for(int i=(int)Math.sqrt(n);;++i){
            tmp=ponySqrt(i*i-n);
            if(tmp!=-1){
                System.out.printf("*%d*%d",i+tmp,i-tmp);
                n/=(i+tmp);
                n/=(i-tmp);
                if(n<=1) break;
                i=(int)Math.sqrt(n);
            }
        }
    }
}