欧几里得算法
写在前面:
这篇博客是我在[◹]对 算术基本定理 的研究 中的一部分
- 欧几里得算法
欧几里得算法即辗转相除法
原理和更项减损术一样的
结合算术基本定理,有
GCD(a,b) == P1min(a1,b1)P2min(a2,b2)......Pnmin(an,bn)
a MOD b == P1a1-b1P2a2-b2......Pnan-bn(执行的条件为ai>=bi)
则能得到GCD(a,b) == GCD(b,a MOD b)
写成GCD(b,a MOD b)而不是GCD(a MOD b,b),就保证了前一个数必然大于后一个数
这样就可以写一个递归函数,一层一层MOD下去
这样化简,直到ai MOD bi == 0
这一项是下一层中的bi,而下一层里面的ai为GCD(a,b)
C++:
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 if(!b) return a; 4 else return gcd(b,a%b); 5 }
Java:
1 static int gcd(int a,int b) 2 { 3 if(b==0) return a; 4 else return gcd(b,a%b); 5 }
再简洁一点就是
C++:
1 int gcd(int a,int b){return !b? a:gcd(b,a%b);}
Java:
1 static int gcd(int a,int b){return b==0? a:gcd(b,a%b);}
非递归形式就是
C++:
1 int gcd(int a, int b) 2 { 3 while(b != 0) 4 { 5 int r = b; 6 b = a % b; 7 a = r; 8 } 9 return a; 10 }
Java:
1 static int gcd(int a,int b) 2 { 3 while(b!=0) 4 { 5 int r=b; 6 b=a%b; 7 a=r; 8 } 9 return a; 10 }