[DP] Rod-cutting problem

给一个长度为 n 的杆子，切成小段卖出去，价格根据小段的长度不同而不同。下面是一个例子

我们要通过切成小段卖出尽可能高的总价钱。问题是：How to decompose the problem?

Decomposition 的第一步是：第一刀切在哪？可以切在最左边（等于整根卖出去）；可以切在位置1，位置2，。。。

关键的一点是，刀切下去后，左半段就不再切了，继续切右半段。切右半段就变成了一个subproblem。

Naive Recursion:

 

 

Top-down implementation:

Bottom-up implementation: 不容易构想，变量 j 是 subproblem's size，从1递增到n，变量 i 用来把每个subproblem 拆分成更小的subproblem，而根据我们这种计算的顺序，当计算 size = j 的时候，< j 的 subproblem 已经计算完毕了。