【指数降幂】费马小定理降幂&欧拉降幂

以下介绍的两种降幂方法均适用于大指数快速幂乘法。

费马小定理降幂：

首先根据费马小定理，∵gcd(a,b)=1，∴a^p-1 ≡ 1 (mod p)

举个例子引入：假设p=7，求2³² % p = ?

由费马小定理可以知道：2⁶ % p=1，∴((2⁶)^k)%p = 1,(k=1,2,3...n)

那么：2³²%p

　　=2^(6*5)+2 %p

　　= (2^6*5)%p * (2²)%p

　　=1 * (2²)%p

　　=(2²)%p

推广可知：求a^x %p=？，根据费马小定理得知∵a^p-1 ≡ 1 (mod p)，而k = x%(p-1)

∴ a^x%p =a^k%p，k=x%(p-1)

即a^x%p = a^x%(p-1)%p

证毕

 

欧拉降幂：

欧拉定理表明，若n,a均为正整数，且gcd(a,n)=1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

推广使用：若gcd(x,n)=1,那么a^x ≡ a^x%φ(n)(mod n)