题目：
一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。输入：每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。输出：对于每组数据，输出f(n)%1000000000。样例输入：7样例输出：6
搬运一下思路：
记f(n)为n的划分数，我们有递推公式： f(2m + 1) = f(2m)，f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，初始条件：f(1) = 1。 证明: 证明的要点是考虑划分中是否有1。 记:A(n) = n的所有划分组成的集合，B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，则有: A(n) = B(n)∪C(n)。 又记:f(n) = A(n)中元素的个数，g(n) = B(n)中元素的个数，h(n) = C(n)中元素的个数，易知: f(n) = g(n) + h(n)。 以上记号的具体例子见文末。 我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。综上，f(2m + 1) = f(2m)。 接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。综上，g(2m) = f(2m - 1)。 把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。综上，h(2m) = f(m)。 所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。 这就证明了我们的递推公式。附代码:
#include<iostream>
#define MAXSIZE 1000001
using namespace std;
int main(){
int n;
int result[MAXSIZE];
result[0] = result[1] = 1;
for(int i = 2; i<MAXSIZE; ++i){
if(i%2 == 0){
result[i] = (result[i-1] + result[i/2])%1000000000;
}
else{
result[i] = result[i-1]%1000000000;
}
}
while(scanf("%d",&n) != EOF)
cout<<result[n]<<endl;
return 0;
}
附java代码:
1 public class fs_7 { 2 private static final int maxSize = 10000001; 3 static Long [] arr=new Long[maxSize]; 4 5 6 public static void main(String[] args) { 7 arr[0]= Long.valueOf(1); 8 arr[1]= Long.valueOf(1); 9 for (int i = 2; i <maxSize ; i++) { 10 if(i%2==1){ 11 arr[i]= arr[i-1]; 12 13 } 14 else 15 arr[i]= (arr[i-1]+arr[i/2])%1000000000; 16 17 } 18 Scanner scanner=new Scanner(System.in); 19 20 while(scanner.hasNextInt()){ 21 int n=scanner.nextInt(); 22 System.out.println(arr[n]); 23 } 24 25 } 26 }
