图谱

第八章复杂网络的谱
复杂网络结构矩阵的特征值和特征向量揭示了网络拓扑及其整体行为的信息。这些矩阵可以是表示复杂网络的图的邻接矩阵，权重矩阵，拉普拉斯矩阵或随机游走矩阵等。例如拉普拉斯矩阵的特征分解有助于识别社交网络中的社区（聚类）。此外，各个复杂网络模型的谱密度遵循特定分布模式，因此可以用于网络分类。
1.图谱对应图结构矩阵的特征值的集合。图谱高度依赖于矩阵的形式，因此根据所选择的结构矩阵，我们可以为图定义不同的谱。图谱的一个有趣特性是它对图的标记具有不变性，也就是说无论图的顶点如何被索引，图谱都是唯一的。图谱可以用作图的替代表示。
2.大多数真实网络包含数千个节点，对于这样的网络，适合研究他们的谱密度，而不是特征值集合。研究表明复杂网络的谱密度遵循特定的分布模式。矩阵的谱分布可以用多种方法表示。其中一种是采用指定分组数的直方图或者相对频率绘制区间[lambda_min,lambda_max]内的特征值分布。第二种方法是采用光滑的核g(lambda，lambda_i)对脉冲序列（狄拉克sigma求和） 进行卷积并绘制谱密度函数：

光滑核可以采用高斯分布或者Cauchy-Lorentz分布。
图的结构矩阵的（N个）特征值的集合被称为图的谱。（邻接矩阵，拉普拉斯矩阵和随机游走矩阵）等。具有相同谱的图被称为同谱图或者等谱图。
有的时候研究图的特征向量也是有益的，如将图的拉普拉斯矩阵的特征向量作为图谐波，用来对定义在图上的信号的频率进行分析。
图的拉普拉斯矩阵的特征向量也用于图的聚类。
图的邻接矩阵谱：是图的邻接矩阵的特征值的集合。无向图的邻接矩阵的特征值和特征向量有一些基本性质：
邻接矩阵的所有特征值都是实数。
特征值之和为零。
特征值的平方和等于图中存在的边数的两倍。
每个特征值的几何重数和代数重数是相同的。
特征向量形成一组完整的正交基。
特征值的边界：
图的邻接矩阵A的最大的特征值的约束为：

其中，是图中度的平均值，dmax是图中度的最大值。

特殊图的邻接矩阵谱：完全图-1和N-1;二分图：谱是关于零特征值对称的。
有向环图：对应于离散时间周期信号的图。有向环图的邻接矩阵的特征分解提供了图傅里叶变换GFT的思想。有向环图的邻接矩阵的特征向量与经典DFT矩阵的列相同。

复杂网络的邻接矩阵谱：
对于大型网络，可以使用谱密度分布函数表征谱谱密度的特征。
网络连接矩阵的谱密度揭示了其拓扑特征。无向网络的邻接矩阵是对称的，还可以将谱密度视为概率密度分布，其测量了在实线上的某点附近找到特征值的可能性。
小世界网络具有复杂的谱密度，通常由几个尖峰组成，无标度网络由一个像三角形一样的谱密度构成，并带有幂律长尾。考虑到谱密度函数的模式，可以对网络进行分类，还可以从网络的谱密度函数中提取各种结构特性。
随机网络：M的谱密度服从半圆分布。

图的拉普拉斯谱：拉普拉斯谱也用于测量网络之间的差异性（或相似性）。拉普拉斯谱可以用于检测复杂网络中的社区结构。。
无向图的邻接矩阵的特征值和特征向量的一些基本性质如下：
1）拉普拉斯矩阵的所有特征值都是非负实数。
2）它总是具有零特征值。
3）如果图是非连通的，则谱由连通子图的特征值集合的并集组成。
拉普拉斯算子特征值的界：
图拉普拉斯矩阵的第二最小的特征值lambda1的上界为：lambda1≤N，
最大特征值的上届：lambda_(N-1)≤2d_max,d_max是图的最大的度

拉普拉斯谱和图的连通性：图的第二最小的拉普拉斯特征值λ1也是图谱中包含的重要信息，也被称为图的谱间隙或者代数连通性。对应于代数连通性的特征向量也被称为Fiedler向量。λ1的值与图的连通性有关，较大的λ1通常与难以断开的图有关。而且代数连通性是非减的，也就是说向图中添加更多的边不会降低代数连通性。
利用二分法进行社区检测：根据Fiedler特征向量中的对应元素的符号将图分成两个社区。

谱图聚类：
图拉普拉斯算子的特征向量也可以用于图节点的聚类，并且该方法被广泛地称为谱图聚类，已广泛用于通过从数据点创建相似性图，然后利用相似性图的拉普拉斯矩阵的特征向量来聚类数据点。在复杂网络领域，谱图聚类可以用于社区检测。

复杂网络的拉普拉斯谱：
包括随机网络，随机正则网络，小世界网络和无标度网络。对于大多数情况，拉普拉斯谱与邻接矩阵谱的形状相同。唯一的区别是在拉普拉斯谱的情况下，分布的大部分朝向大的特征值聚集，而在邻接谱的情况下，其向较小的特征值聚集。对于无标度网络，拉普拉斯矩阵谱和邻接矩阵谱具有不同的形状。
随机网络：大部分谱分布位于大特征值，接近半圆分布。观察到零特征值处的小峰值，这是由于图拉普拉斯算子总是存在零特征值。

随机正则网络：当d变大时，呈半圆形。

小世界网络：对于小的重连概率，由于高度的规律性，该谱具有很多的峰值。随着重连概率的增加，网络倾向于随机网络，因此，谱趋于遵循半圆分布。
无标度网络：在接近零处有峰值，这意味着大多数特征值很小。

使用谱密度进行网络分类：
网络的谱形状可以用于对网络进行分类。

开放性研究问题：
1.对于随机网络，谱密度遵循半圆定律。但是对于真实世界，其谱特性分析仍然悬而未决。
2.通过改变网络拓扑来研究图谱的变化是一个开放的研究领域。
3.关于有向图的谱知之甚少。
4.使用谱密度建模网络演化是一个开放的研究领域。