数组的连续最大子段和
问题描述：输入是一个大小为n的整型数组，要求输出数组的任何连续子数组中的最大值。例如：输入的数组为array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};输出最大连续子数组和为array[2...6]：187
算法1:对所有满足0<=i<=j<=n的(i,j)整数对进行迭代，对每个整数对，程序都要计算array[i...j]的总和，并检验该总和是否大于迄今为止的最大总和。
算法1的伪代码描述如下：
1 maxsofar = 0 2 for(i=0;i<n;++j) 3 for(j=i;j<n;++j) 4 tmepsum = 0 5 for(k=i;k<=j;++k) 6 tempsum += array[k] 7 maxsofar = max(maxsofar,tempmax)
这段代码简洁明了，便于理解，但是程序执行的速度很慢，时间复杂度为O(n^3)。
算法2:对于算法1有一个明显的方法可以使其运行起来快得多。使得时间复杂度控制住平方O(n^2)。
第一个平方算法注意到，array[i...j]的总和与前面计算出的总和（array[i...j-1]）密切相关，利用这一点可以达到算法2。
算法2_1的伪代码描述如下：
1 maxsofar = 0 2 for(i=0;i<n;++i) 3 tempsum = 0; 4 for(j=i;j<n;++j) 5 tempsum += array[j] 6 maxsofar = max(maxsofar,tempsum)
第二个平方算法是引入一个数组curarray，大小也为n，通过空间来换取时间，通过访问外循环执行之前计算[0...i]各个连续字段总和。curarrary中的第i个元素包含array[0...i]中各个数的累加和，所以x[i...j]中各个数的总和可以通过计算curarray[j] -curarray[i-1]得到.
算法2_2的伪代码描述如下：
1 curarray[-1] = 0 2 for(i=0;i<n;++i) 3 curarray[i] = curarray[i-1]+x[i] 4 maxsofar = 0 5 for(i=0;i<n;++i) 6 for(j=i;j<n;++j) 7 sum = curarray[j]-curarray[i-1] 8 maxsofar = max(maxsofar,sum)
算法3：可以考虑采用法治算法。初始问题是要处理大小为n的数组，所以可以将其划分为两个子数组a和b，然后递归的找出a、b中元素总和最大的子数组分别为MaxA、MaxB。而最大子数组要么在a中，要么在b中，要么跨越a和b之间的边界，我们将跨越边界的最大子数组记为MaxC。我们通过分治算法计算处了MaxA和MaxB，通过某种办法计算处MaxC。然后返回三个中的最大值就是我们所要的最大子数组和。算法的时间复杂度为O(nlogn)。如何计算MaxC呢？通过观察发现，MaxC在a中的部分是a中包含右边界的最大子数组，而MaxC在b中的部分是b中包含左边界的最大子数组。将这些综合一起我们得到算法3：
1 int maxsum3(1,n) 2 { 3 if(n<1) //空数组 4 return 0 5 if(n==1) 6 //只有一个元素的数组 7 return array[1] 8 mid = n/2 //分为两部分 9 lmax = tempsum =0 10 //包含右边界的最大子数组和 11 for(i=mid;i>=1;--i) 12 sum + array[i] 13 lmax = max(lmax,sum) 14 rmax = sum =0;//包含左边界的最大子数组和 15 for(i=mid;i<n;++i) 16 sum += array[i] 17 rmax = max(rmax,sum) 18 return max(lmax+rmax,maxsum3(1,mid),maxsum3(mid+1,n)) 19 }
算法4：我们现在采用操作数组的最简单的算法：从数组最左端(元素x[0])开始扫描，一直到最右端(元素array[n-1])为止，并记下所遇到的最大总和的子数组。最大总和开始设为0.假设我们已经解决了array[0...i-1]的问题，那么如何将其扩展为包含x[i]的问题呢？我们用类似于分治算法的原理：前i个元素中，最大总和子数组要么在前i-1个元素中（将其存maxsofar中），要么其结束位置为i（将其存入maxendinghere中）。不从头开始计算结束位置为i的最大子数组，而是利用结束位置为i-1的最大子数组进行计算。这样就得到了算法4：
1 maxsofar = 0 2 maxendinghere = 0 3 for(i=0;i<n;++i) 4 maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0) 5 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)
理解这个程序的关键在于maxendinghere。在循环中第一个赋值语句之前，maxendinghere是结束位置为i-1的最大子数组的和，赋值语句将其修改为结束位置为i的最大子数组的和。若加上array[i]的后的结果为正值，则该赋值语句使maxendinghere增大x[i]，若加上x[i]之后结果为负值，该赋值语句将maxendinghere重新设置为0（因为结束位置为i的最大子数组现在为空）。这个地方有些难度，需要认真思考揣摩。时间复杂度为O(n),线性算法，效率最高。
下面针对这4个算法写一个完成的程序来进行测试，程序如下：
1 。#include <iostream> 2 using namespace std; //求两个数种最大值 3 int max(const int m,const int n) 4 { 5 return m>n ? m : n; 6 } //求三个整数中的最大值 7 int max(const int x,const int y,const int z) 8 { 9 int temp = x>y ? x : y; 10 temp = temp > z ? temp : z; 11 return temp; 12 } //算法1函数实现 13 int maxsum1(int *array,const size_t len) 14 { 15 int maxsofar = 0; 16 int tempsum = 0; 17 for(size_t i=0;i<len;++i) 18 for(size_t j=i;j<len;++j) 19 { 20 tempsum = 0; 21 for(size_t k =i;k<=j;++k) 22 { 23 tempsum += array[k]; 24 maxsofar = max(maxsofar,tempsum); 25 } 26 } 27 return maxsofar; 28 } //算法2.1的实现 29 int maxsum2_1(int *array,const size_t len) 30 { 31 int maxsofar = 0; 32 int tempsum = 0; 33 for(size_t i=0;i<len;++i) 34 { 35 tempsum = 0; 36 for(size_t j=i;j<len;++j) 37 { 38 tempsum += array[j]; 39 maxsofar = max(maxsofar,tempsum); 40 } 41 } 42 return maxsofar; 43 } //算法2.2的实现 44 int maxsum2_2(int *array,const size_t len) 45 { 46 int *curarray =NULL; 47 int maxsofar = 0; 48 if(len>0) 49 curarray = new int[len]; 50 curarray[-1] = 0; 51 for(size_t i=0;i<len;++i) 52 curarray[i] = curarray[i-1] + array[i]; 53 for(size_t j=0;j<len;++j) 54 for(size_t k=j;k<len;++k) 55 //tempsum = curarray[k] - curarray[j-1]; 56 maxsofar = max(maxsofar,curarray[k]-curarray[j-1]); 57 return maxsofar; 58 } //算法3的实现 59 int maxsum3(int *array,const int begin,const int end) 60 { 61 int mid = 0; 62 int lmax=0,rmax =0; 63 int tempsum = 0; 64 if(begin==end) 65 return array[begin]; 66 mid = (begin+end) / 2; 67 for(int i=mid;i>=begin;--i) 68 { 69 tempsum += array[i]; 70 lmax = max(lmax,tempsum); 71 } 72 tempsum = 0; 73 for(int j=mid+1;j<=end;++j) 74 { 75 tempsum += array[j]; 76 rmax = max(rmax,tempsum); 77 } 78 return max(lmax+rmax,maxsum3(array,begin,mid),maxsum3(array,mid+1,end)); 79 } //算法4的实现 80 int maxsum4(int *array,const size_t len) 81 { 82 int maxendinghere = 0; 83 int maxsofar = 0; 84 for(size_t i=0;i<len;++i) 85 { 86 maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0); 87 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere); 88 } 89 return maxsofar; 90 } int main() 91 { 92 int array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84}; 93 int choise; 94 cout<<"1.算法1"<<endl; 95 cout<<"2.算法2_1"<<endl; 96 cout<<"1.算法1"<<endl; 97 cout<<"3.算法3"<<endl; 98 cout<<"4.算法4"<<endl; 99 cout<<"5.算法2_2" <<endl; 100 cout<<"0.退出"<<endl; 101 while(1) 102 { 103 cout<<"选择算法："; 104 cin>>choise; 105 cout<<"数组的最大字段和为："; 106 switch(choise) 107 { 108 case 1: 109 cout<<maxsum1(array,10)<<endl; 110 break; 111 case 2: 112 cout<<maxsum2_1(array,10)<<endl; 113 break; 114 case 3: 115 cout<<maxsum3(array,0,9)<<endl; 116 break; 117 case 4: 118 cout<<maxsum4(array,10)<<endl; 119 break; 120 case 5: 121 cout<<maxsum2_2(array,10)<<endl; 122 break; 123 case 0: 124 exit(0); 125 } 126 } 127 return 0; 128 }
参考文献：《编程珠玑》第二版 第八章 算法设计的艺术
