数学要背的内容

数学要背的内容

目录

• 数学要背的内容
  • 常用泰勒公式
  • 常用等价替换
  • 三角函数公式
    • 三角函数的变换
    • 和差角公式
    • 和差化积公式
    • 积化和差公式
    • 倍角公式
  • 基本求导公式
  • 积分公式
  • 高数 18 讲
  • 几何图形
    • 椭球体
  • 不等式
  • 中值定理解题技巧
  • 物理公式

常用泰勒公式

x->0 时才能使用

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)x^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$, 第n项：$(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$

$\ln (x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ 。原式： $e^x=\sum _{n=0}^{\text{infin}}\frac{x^n}{n!}$

$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}{x}^2+o(x^2)$

常用等价替换

当 x->0 时，有：

$\sin x\sim x，\tan x\sim x，\arcsin x\sim x，\arctan x\sim x$

$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}，a^x-1\sim x\ln a，e^x-1\sim x$

$1-{\cos }^{a}x\sim \frac{a{x}^2}{2}$

$\ln (1+x)\sim x，(1+x{)}^a-1\sim ax$

$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，有：

重要极限:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{(\frac{1}{x})}=e^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}\ln x}=1$ （洛必达法则）

$\underset{x\to 0}{lim}(1-x{)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$

$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

三角函数公式

在直角三角形中：

$\sin \alpha$ ：对边除以斜边, 音标[saɪn]

$\cos \alpha$ ：邻边除以斜边, 音标[ˈkəʊsaɪn]

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ ： 对边除以邻边, 音标[ˈtændʒənt]

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ : 邻边除以对边, 音标['kəʊ'tændʒənt]

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }$ : 斜边除以邻边, 音标['si:kənt]

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }$ : 斜边除以对边, 音标['kəʊ'si:kənt]

三角函数的变换

半径为 1，圆心在 (0，0) 的圆可以推导下面公式：

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sec }^2\alpha -1={\tan }^2\alpha$

$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$

$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$

$\tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha$

$\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$

$\cot (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\tan \alpha$

$\cot (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$

和差角公式

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm tan\beta }{1\mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }$

$\cot (\alpha \pm \beta )=\frac{\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }$

和差化积公式

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\cos (\alpha -\frac{\pi }{4})=-\sqrt{2}\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$

积化和差公式

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$

$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$

倍角公式

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$

$$\begin{gathered} \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ =2{\cos }^2\alpha -1 \\ =1-2{\sin }^2\alpha \\ =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha } \end{gathered}$$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\cdot \cot 2\alpha =\frac{{\cot }^2\alpha -1}{2\cot \alpha }$

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$

$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$

基本求导公式

$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1},a\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}$

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,(a>0,a\ne 1)$

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a},(a>0,a\ne 1）$

$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$(\arcsin \frac{x}{a}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$

$(\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}{)}^{\prime }=\frac{1}{a^2+x^2}$

$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

$(\ln (x+\sqrt{x^2+a^2}){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$

$(\ln (x+\sqrt{x^2-a^2}){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$

积分公式

$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln |\csc x-\cot x|+c$

$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln |\sec x-\tan x|+c$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+c$

换元法：

分清下面式子：

$\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=\frac{d\{f[g(x)]\}}{dx}$

$f^{\prime }[g(x)]=\frac{d\{f[g(x)]\}}{d[g(x)]}$

反函数求导：

反函数和原函数关于直线 x=y 对称

$y=f(x)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{可}\mathrm{导}，f^{\prime }(x)\ne 0,\mathrm{则}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}x=\phi (y),{\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

$\mathrm{若}f(x)\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{则}{\phi }^{″}(y)=-\frac{f^{″}(x)}{[f^{\prime }(x){]}^3}$

$f^{″}(x)=-\frac{{\phi }^{″}(y)}{[{\phi }^{\prime }(y){]}^3}$

高数 18 讲

171页 华里士公式
泰勒公式展开为幂级数，84页

$\int e^{ax}\sin bxdx$ 166页

变限积分的奇偶性、周期性

反常积分审敛:

$\underset{x\to 0}{lim}{x}^a\ln x=0,a>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{lnx}{x^a}=0,a>0$

${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx{\{}_{\mathrm{发}\mathrm{散}，p\ge 1}^{\mathrm{收}\mathrm{敛}，0<p<1}$

${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx{\{}_{\mathrm{发}\mathrm{散}，p\le 1}^{\mathrm{收}\mathrm{敛}，p>1}$

有理数的不定积分

第10讲，一元函数积分学的公式

几何图形

椭球体

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

体积：$\frac{4}{3}\pi abc$

椭圆面积: $ab\pi$

球体体积：$\frac{4}{3}\pi r^3$
球体表面积：$4\pi r^2$

圆柱体积：$\pi r^{2}h$

圆锥体积：$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

组合表示：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 表示从 n 个元素中取出 k 个元素的组合数（高中的 $C_n^k)$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-k+1)}{k!}=\frac{(a{)}_k}{k!}$

牛顿二项式定理：

$(x+y{)}^a=\sum _{k=0}^a(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{k})x^{a-k}{y}^k$

平方和公式：

$1^2+2^2+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$a³＋b³=(a＋b)(a²-ab＋b²）$
$a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)$

等比数列求和公式：

$s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

等差数列：

第 n 项：$a_n=a1+(n-1)d$

前 n 项和：$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}、s_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$

求根公式：

$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\mathrm{\Gamma }$ 函数：

$\mathrm{\Gamma }(a)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{a-1}{e}^{-x}dx=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2a-1}{e}^{-t^2}dt,(x,t>0)$

$\mathrm{\Gamma }(a+1)=a\mathrm{\Gamma }(a)$

$\mathrm{\Gamma }(1)=1,\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

不等式

对于正数：开根号、取对数都不改变不等号的方向

$\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},(a,b\ge 0)$

在 $(0,0.86),x<\arctan x$

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},(a,b\ge 0)$

$x>lnx$
$x>\sin x,(x>0)$
$x<\tan x,(0<x<\frac{\pi }{2})$

$x<y,a+b<1\mathrm{时}，x<ax+by<y$

$a^2+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}$

中值定理解题技巧

看见 $f(x)+f^{\prime }(x)$:

$[e^{x}f(x){]}^{\prime }=e^x(f^{\prime }(x)+f(x))$

物理公式

万有引力公式：$G\frac{Mm}{r^2}$, （M、m是两物体的质量）