数学要背的内容

数学要背的内容

常用泰勒公式

x->0 时才能使用

f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x22!+...+f(n)(0)xnn!

sinx=xx36+o(x3)

cosx=1x22+x44!+o(x4)

secx=1+x22+o(x3)

tanx=x+x33+o(x3)

arcsinx=x+x36+o(x3)

arctanx=xx33+o(x3)

ln(1+x)=xx22+x33+o(x3), 第n项:(1)n1xnn

ln(x+1+x2)=xx36+o(x3)

ex=1+x+x22+x33!+o(x3) 。原式: ex=n=0\infinxnn!

(1+x)a=1+ax+a(a1)2x2+o(x2)

常用等价替换

当 x->0 时,有:

sinxxtanxxarcsinxxarctanxx

1cosxx22ax1xlnaex1x

1cosaxax22

ln(1+x)x(1+x)a1ax

ln(x+1+x2)x

x 时,有:

重要极限:

limx(1+1x)x=e

limxsinxx=1

limxx(1x)=elimx1xlnx=1 (洛必达法则)

limx0(1x)1x=1e

limx0(1+x)1x=e

三角函数公式

在直角三角形中:

sinα :对边除以斜边, 音标[saɪn]

cosα :邻边除以斜边, 音标[ˈkəʊsaɪn]

tanα=sinαcosα : 对边除以邻边, 音标[ˈtændʒənt]

cotα=1tanα=cosαsinα : 邻边除以对边, 音标['kəʊ'tændʒənt]

secα=1cosα : 斜边除以邻边, 音标['si:kənt]

cscα=1sinα : 斜边除以对边, 音标['kəʊ'si:kənt]

三角函数的变换

半径为 1,圆心在 (0,0) 的圆可以推导下面公式:

sin2α+cos2α=1

sec2α1=tan2α

sin(π2+α)=cosα

sin(π2α)=cosα

cos(π2+α)=sinα

cos(π2α)=sinα

tan(π2+α)=cotα

tan(π2α)=cotα

cot(π2+α)=tanα

cot(π2α)=tanα

和差角公式

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ

tan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ

cot(α±β)=cotαcotβ1cotβ±cotα

和差化积公式

sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2

sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2

cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2

cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2

sinα+cosα=2cos(απ4)=2sin(α+π4)

积化和差公式

sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(αβ)]

cosαsinβ=12[sin(α+β)sin(αβ)]

cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]

sinαsinβ=12[cos(α+β)cos(αβ)]

倍角公式

sin2α=2sinαcosα=2tanα1+tan2α

cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α=1tan2α1+tan2α

tan2α=2tanα1tan2αcot2α=cot2α12cotα

sin3α=3sinα4sin3α

cos3α=4cos3α3cosα

基本求导公式

(xa)=axa1,a

(ax)=axlna,(a>0,a1)

(ex)=ex

(logax)=1xlna,(a>0,a1

(ln|x|)=1x

(sinx)=cosx

(cosx)=sinx

(arcsinxa)=1a2x2

(arccosx)=11x2

(tanx)=sec2x

(cotx)=csc2x

(1aarctanxa)=1a2+x2

(arccotx)=11+x2

(secx)=secxtanx

(cscx)=cscxcotx

(ln(x+x2+a2))=1x2+a2

(ln(x+x2a2))=1x2a2

积分公式

dxsinx=ln|cscxcotx|+c

dxcosx=ln|secxtanx|+c

1x2a2dx=12aln|xax+a|+c

换元法:

alt text

分清下面式子:

{f[g(x)]}=d{f[g(x)]}dx

f[g(x)]=d{f[g(x)]}d[g(x)]

反函数求导:

反函数和原函数关于直线 x=y 对称

y=f(x)f(x)0,x=φ(y),φ(y)=1f(x)

f(x)φ(y)=f(x)[f(x)]3

f(x)=φ(y)[φ(y)]3

高数 18 讲

171页 华里士公式
泰勒公式展开为幂级数,84页

eaxsinbxdx 166页

变限积分的奇偶性、周期性

反常积分审敛:

limx0xalnx=0,a>0

limxlnxxa=0,a>0

011xpdx{p10<p<1

1+1xpdx{p1p>1

有理数的不定积分

第10讲,一元函数积分学的公式

几何图形

椭球体

x2a2+y2b2+z2c2=1

体积:43πabc

椭圆面积: abπ

球体体积:43πr3
球体表面积:4πr2

圆柱体积:πr2h

圆锥体积:13πr2h

组合表示

(nk) 表示从 n 个元素中取出 k 个元素的组合数(高中的 Cnk)

(nk)=a(a1)(a2)(ak+1)k!=(a)kk!

牛顿二项式定理

(x+y)a=k=0a(ak)xakyk

平方和公式:

12+22+...+n2=16n(n+1)(2n+1)

a³b³=(ab)(a²abb²
a³b³=(ab)(a²+ab+b²)

等比数列求和公式:

sn=a11qn1q

等差数列:

第 n 项:an=a1+(n1)d

前 n 项和:sn=n(a1+an)2sn=na1+n(n1)d2

求根公式:

b±b24ac2a

Γ 函数:

Γ(a)=0+xa1exdx=20+t2a1et2dt,(x,t>0)

Γ(a+1)=aΓ(a)

Γ(1)=1,Γ(12)=π

不等式

对于正数:开根号、取对数都不改变不等号的方向

abc3a+b+c3a2+b2+c23,(a,b0)

(0,0.86),x<arctanx

21a+1baba+b2a2+b22,(a,b0)

x>lnx
x>sinx,(x>0)
x<tanx,(0<x<π2)

x<y,a+b<1x<ax+by<y

a2+b2(a+b)22

中值定理解题技巧

看见 f(x)+f(x):

[exf(x)]=ex(f(x)+f(x))

物理公式

万有引力公式:GMmr2, (M、m是两物体的质量)

posted @   卑以自牧lq  阅读(30)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 使用C#创建一个MCP客户端
· ollama系列1:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· 按钮权限的设计及实现
点击右上角即可分享
微信分享提示