第一节 导数概念

导数概念

一、引例

1. 直线运动的速度

2. 切线问题

二、导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x₀$ 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 $x₀$ 处取得增量 $\mathrm{△}x$(点 $x₀+△x$ 仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量 $△y=f(x₀+△x)-f(x₀)$; 如果 $\mathrm{△}y\mathrm{与}△x$ 之比当 $△x\to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x₀$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x₀$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x₀)$ ,即

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{△}y}{\mathrm{△}x}=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)}{\mathrm{△}x}$,

也可记作：$y^{\prime }{|}_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}\mathrm{或}\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

函数 f(x) 在点 x₀ 处可导有时也说成 f(x) 在点 x₀ 处具有导数或导数存在.

导数概念就是函数变化率（变量变化的快慢）这一概念的精确描述

从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比 $\frac{\mathrm{△}y}{\mathrm{△}x}$ 因变量 $y$ 在以 $x₀$ 和 $x₀+△x$ 为端点的区间上的平均变化率，而导数 $f^{\prime }(x₀)$ 则是因变量 $y$ 在点 $x₀$ 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度

如果函数 $y=f(x)$ 在开区间 I 内的每点处都可导，那么就称函数 $f(x)$ 在开区间 I 内可导. 这时，对于任一 $x\in I$, 都对应着 $f(x)$ 的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 $y=f(x)$ 的导函数，记作

$y^{\prime },f^{\prime }(x),\frac{dy}{dx}\mathrm{或}\frac{df(x)}{dx}$

注意:

• 在以上两式中，虽然x可以取区间I 内的任何数值，但在极限过程中，x是常量，△x 或h 是变量.

 显然，函数f(x)在点 x₀处的导数f'(x₀) 就是导函数f'(x)在点x=x₀ 处的函数值，即
$f^{\prime }(x₀)=f^{\prime }(x){|}_{x=x_0}$

 导函数 $f^{\prime }(x)$ 简称导数，而 $f^{\prime }(x₀)$ 是 $f(x)$ 在 x₀ 处的导数或导数 $f^{\prime }(x)$ 在点 $x₀$ 处的值.

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组合表示：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 表示从 n 个元素中取出 k 个元素的组合数（高中的 $C_n^k)$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-k+1)}{k!}=\frac{(a{)}_k}{k!}$

牛顿二项式定理：

$(x+y{)}^a=\sum _{k=0}^a(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{k})x^{a-k}{y}^k$

例2 的证明用了牛顿二项式定理

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例3 的证明用了幂运算法则

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3. 单侧导数

函数f(x)在点 x₀处可导的充分必要条件是左导数 $f_{-}^{\prime }(x₀)$ 和右导数 $f_{+}^{\prime }(x₀)$ 都存在且相等

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数f(x) 在开区间(a,b) 内可导，且 $f_{-}^{\prime }(a)$ 及 $f_{+}^{\prime }(b)$ 都存在，那么就说f(x) 在闭区间[a,b] 上可导

三 、导数的几何意义

某个点的导数表示某个点切线的斜率。

与点 M 的切线垂直的线叫点 M 处的法线

互相垂直的线的斜率相乘等于 -1

四、函数可导性与连续性的关系

函数 $y=f(x)$ 在点 x 处可导，那么函数在该点必连续.
一个函数在某点连续却不一定在该点可导 (例如：切线垂直 x 轴，导数无穷大，此时导数不存在，因为极限的定义是常数 A。例如：切线不存在的情况)