求导数总结

求导数方法总结

导数最后都要是包含 x 的表达式？

答题步骤参考第二节 例13、14

$\frac{dy}{dx}$ 是 y 对 x 的导数

$\frac{dx}{dy}$ 是 x 对 y 的导数

1. 基本求导法则与导数公式

1. 常数的导数等于 0

2. 幂函数的导数 $f(x)=x^n,f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$

3. 指数函数的导数：$f(x)=a^x(a>0,a\ne 1),f^{\prime }(x)=a^x\ln a$

4. 三角函数：

   1. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
   2. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
   3. $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
   4. $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

5. 对数函数的导数：$f(x)={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1),f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}$

6. 幂指函数的导数
   
   上图中用的是复合函数的求导和函数的积的求导法则

2. 函数的和、差、积、商的求导法则

(1) $[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$;

(2) $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$;

(3) $[\frac{u(x)}{vx}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$

3. 反函数的求导法则

4. 复合函数的求导法则

5. 两边同时取对数

高阶导数的求导

一级一级做下去。

y=f(x),
y'也是关于x 的函数，对这个函数再求一次导

常见初等函数的 n 阶导数

$(e^x{)}^{(n)}=e^x$

$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)(\mu -2)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$
当 $\mu =n$ 时，$(x^{\mu }{)}^{(n)}=n!$
$(x^{\mu }{)}^{(n+k)}=0,(k=1,2,\cdots$ 因为常数的导数为 0

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和、差的 n 阶导数

如果函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 都在点 x 处具有 n 阶导数，那么显然 $u(x)+v(x)$ 及 $u(x)-v(x)$ 也在点 x 处具有n 阶导数，且
$(u\pm v{)}^n=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

乘的 n 阶导数

乘积 $u(x)v(x)$ 的 n 阶导数 是莱布尼茨公式

可以利用牛顿二项式定理的公式记忆

$(uv{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$
n-k 和 k 表示 n-k 阶 和 k 阶导数（0 阶导数理解为函数本身）

隐函数求导

两边同时求导

由参数方程确定的函数的导数公式