第八节 函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

连续的定义

定义1:
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x₀$ 的某一邻域内有定义，如果:

$\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\mathrm{△}y=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)]=0$,

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 x₀ 连续.

定义2:
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x₀$ 的某一邻域内有定义，如果

$\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}f(x)=f(x_0)$,

那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x₀$ 连续

定义3:
$f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\text{exist}\delta >0$, 当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

左连续和右连续

如果 $\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}f(x)=f(x_0^{-})$ 存在且等于 $f(x_0)$, 即：

$f(x_0^{-})=f(x_0)$,

那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续。

如果 $\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}f(x)=f(x_0^{+})$ 存在且等于 $f(x_0)$, 即：

$f(x_0^{+})=f(x_0)$,

那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续。

  在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

有理整函数：多项式

有理整函数都是连续的
有理分式函数在其定义域内连续

二、函数的间断点

设函数 $f(x)$ 在点 $x₀$ 的某去心邻域内有定义. 在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：
(1)在 $x=x₀$ 没有定义；
(2)虽在 $x=x₀$ 有定义, $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在；
(3)虽在x=x₀有定义，$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在, 但 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$,
那么函数 $f(x)$ 在点 $x₀$ 为不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点

间断点的常见类型：
无穷间断点
振荡间断点
可去间断点
跳跃间断点

通常把间断点分成两类：如果 $x₀$ 是函数 $f(x)$ 的间断点，但左极限 $f(x^{-})$ 及右极限 $f(x^{+})$ 都存在，那么 $x₀$ 称为函数 $f(x)$ 的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点