第七节 无穷小的比较

第七节 无穷小的比较

两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度

下面的 α 及 β 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \ne 0$, $lim\frac{\beta }{\alpha }$ 也是在这个变化过程中的极限.
定义：
如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=0$,那么就说 β 是比 α 高阶的无穷小，记作 $\beta =\circ (a)$;

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$,那么就说 β 是比 α 低阶的无穷小；

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$,那么就说 β 与 α 是同阶无穷小；

如果 $lim\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0,k>0$,那么就说 β 是关于 α 的 k 阶无穷小

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$, 那么就说 β 与 α 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$.

显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即 c=1 的情形

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例1证明：

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定理1: β 与 α 是等价无穷小的充分必要条件为
$\beta =\alpha +o(\alpha )$.

技巧：