第五节 极限运算法则

第五节 极限运算法则

  本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限

定理1: 两个无穷小的和是无穷小。
  用数学归纳法可证：有限个无穷小之和也是无穷小

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定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
  推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
  推论2: 有限个无穷小的乘积是无穷小.

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定理3: 如果 $limf(x)=A,limg(x)=B$,那么:
(1) $lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)=A\pm B$.

(2) $lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A\cdot B$.
  推论1: 如果 $limf(x)$ 存在，而 c 为常数，那么
  $lim[cf(x)]=climf(x)$.
  推论2: 如果 $limf(x)$ 存在，而 n 是正整数，那么
  $lim[f(x){]}^n=[limf(x){]}^n$.

(3)若又有 $B\ne 0$, 则
$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B}$

定理3中的(1)、(2)可推广到有限个函数的情形.

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定理4: 设有数列 $x_n$ 和 $y_n$. 如果
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=B$
那么
(1) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\pm y_n)=A\pm B;$

(2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B;$

(3) 当 $y_n\ne 0(n=1,2,\cdots )\mathrm{且}B\ne 0\mathrm{时}，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$

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定理5: 如果 $\phi (x)\ge \psi (x)$, 而 $lim\phi (x)=A,lim\psi (x)=B$ 那么 $A\ge B$.

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