第一节 映射与函数

第一节 映射与函数

一、映射

1. 映射概念

  设 X, Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$, 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 $f$, 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称 $f$ 为从 X 到 Y 的映射，记作
$f:X\to Y$,
  其中 y 称为元素 x (在映射 $f$ 下)的像，并记作 $f(x)$, 即
$y=f(x)$,

  而元素 x 称为元素 y (在映射 $f$ 下)的一个原像；集合 X 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$, 即 $D_f=X$; X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $R_f\mathrm{或}f(X)$, 即:
$R_f=f(X)=\{f(x)|x\in X\}$

(1) 映射三要素：定义域、值域、对应法则

(2) 对每个 $x\in X$, 元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个 $y\in R_f$, 元素 y 的原像不一定是唯一的；映射 $f$ 的值域 $R_f$, 是 Y 的一个子集，即 $R_f\subset Y$, 不一定 $R_f=Y$

  设 $f$ 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若 $R_f=Y$,即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 $f$ 为 X 到 Y 上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素 $x_1\ne x_2$, 它们的像 $f(x_1)\ne f(x_2)$, 则称 $f$ 为 X 到 Y 的单射；若映射 $f$ 既是单射，又是满射，则称 $f$ 为一一映射(或双射).

  映射又称为算子。根据集合X,Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例如，从非空集合 X 到数集 Y 的映射又称为 X 上的泛函，从非空集合 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换，从实数集(或其子集) X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 上的函数。

2. 逆映射和复合映射

  设 $f$ 是 X 到 Y 的单射，则由定义，对每个 $y\in R_f$, 有唯一的 $x\in X$, 适合 $f(x)=y$. 于是，我们可定义一个从 $R_f\mathrm{到}X$ 的新映射 $g$, 即:
$g:R_f\to X$,
  对每个 $y\in R_f$, 规定 $g(y)=x$, 这 x 满足 $f(x)=y$. 这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$, 其定义域 $D_{f^{-1}}=R_f$, 值域 $R{f}^{-1}=X$.
只有单射才存在逆映射

  设有两个映射 $g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z$, 其中 $Y_1\subset Y_2$, 则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 $x\in X$ 映射成 $f[g(x)]\in Z$. 这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射，这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作 $f\circ g$, 即
$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$,
  由复合映射的定义可知，映射 $g$ 和 $f$ 构成复合映射的条件是：$g$ 的值域 $R_g$ 必须包含在 $f$ 的定义域内，即 $R_g\subset D_f$, 否则，不能构成复合映射. 由此可以知道，映射 g 和 f 的复合是有顺序的，$f\circ g$ 有意义并不表示 $g\circ f$ 也有意义.即使 $f\circ g$ 与 $g\circ f$ 都有意义，复合映射 $f\circ g$ 与 $g\circ f$ 也未必相同

二、函数

1. 函数的概念

  设数集 $D\subset R$,则称映射 $f:D\to R$ 为定义在 D 上的函数，通常简记为
$y=f(x),x\in D$,
  其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 $D_f$,即 $D_f=D$. 函数的定义中，对每个 $x\in D$, 按对应法则 f, 总有唯一确定的值 y 与之对应，这个值称为函数 f 在 x 处的函数值，记作 $f(x)$,即 $y=f(x)$. 因变量 y 与自变量 x 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系. 函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作 $R_f\mathrm{或}f(D)$, 即
$R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$,
  按照上述定义，记号 $f$ 和 $f(x)$ 的含义是有区别的：前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则，而后者表示与自变量 x 对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号 "$f(x),x\in D$" 或 "$y=f(x),x\in D$" 来表示定义在 D 上的函数，这时应理解为由它所确定的函数 f.

  表示函数的记号是可以任意选取的

  函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R 内
  构成函数的要素：定义域 $D_f$, 及对应法则 $f$.
  如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.

  函数的定义域通常按以下两种情形来确定： 一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定. 另一种是抽象地用解析式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得解析式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。

  表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法),其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集 $\{P(x,y)|y=f(x),x\in D\}$ 称为函数 $y=f(x),x\in D$ 的图形

例子中举例的函数：绝对值函数、符号函数、取整函数、分段函数

$[x]$ 表示对 x 向下取整

2. 函数的几种特性

(1) 有界性

  设函数 f(x) 的定义域为 D, 数集 $X\subset D$.
  如果存在数 K, 使得 $f(x)\le K₁$ 对任一 $x\in X$ 都成立，那么称函数 f(x) 在 X 上有上界，而 $K_1$ 称为函数 $f(x)$ 在X 上的一个上界.
  如果存在数K₂,使得 $f(x)\ge K₂$ 对任一 $x\in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 X 上有下界，而 $K_2$ 称为函数 $f(x)$ 在 X 上的一个下界.
  如果存在正数M,使得 $|f(x)|\le M$ 对任一 $x\in X$ 都成立，那么称函数 $f(x)$ 在 X 上是有界的。如果这样的 M 不存在，就称函数 $f(x)$ 在 X 上无界；这就是说，如果对于任何正数 M, 总存在 $x\in X$, 使 $|f(x₁)|>M$, 那么 函数 $f(x)$ 在 X 上无界.

函数 $f(x)$ 在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界

(2) 单调性

  设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 D, 区间 $I\subset D$. 如果对于区间 I 上任意两点 x₁ 及 x₂, 当 $x₁<x₂$ 时，恒有
$f(x₁)<f(x₂)$,
  那么称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调增加的;
  如果对于区间I 上任意两点x₁及 x₂, 当x₁<₂ 时，恒有
$f(x₁)>f(x₂)$,
  那么称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调减少的.
  单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

(3) 奇偶性

  设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称.
  如果对于任一 $x\in D$, $f(-x)=f(x)$, 恒成立，那么称 f(x) 为偶函数.
  如果对于任一 $x\in D$, $f(-x)=-f(x)$, 恒成立，那么称 f(x) 为奇函数

• 偶函数的图形关于y 轴对称
• 奇函数的图形关于原点对称

(4) 周期性

  设函数f(x)的定义域为 D.
  如果存在一个正数l,使得对于任一 $x\in D\mathrm{有}(x\pm l)\in D,\mathrm{且}f(x+l)=f(x)$ 恒成立，那么称 f(x) 为周期函数，l 称为 f(x) 的周期.
  通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.
  不是所有的周期函数都有最小正周期，例如 y = 2, 任何正有理数都是它的周期，因为不存在最小的正有理数，所有没有最小周期

3. 反函数和复合函数

  作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念： 设函数 $f:D\to f(D)$ 是单射，则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D)\to D$, 称此映射 $f^{-1}$ 为函数 f 的反函数. 按此定义，对每个 $y\in f(D)$, 有唯一的 $x\in D$, 使得 $f(x)=y$, 于是有 $f^{-1}(y)=x$. 这就是说，反函数 $f^{-1}$ 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的.

一般地，$y=f(x),x\in D$ 的反函数记成 $y=f^{-1}(x),x\in f(D)$.
  若 f 是定义在 D 上的单调函数，则 $f:D\to f(D)$ 是单射，于是 f 的反函数 $f^{-1}$ 必定存在，而且容易证明 $f^{-1}$ 也是 $f(D)$ 上的单调函数

  相对于反函数 $y=f^{-1}(x)$ 来说，原来的函数 $y=f(x)$ 称为直接函数。
  直接函数和反函数关于直线 y = x 对称

  复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述：设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$, 函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$, 且其值域 $R_g\subset D$, 则由下式确定的函数
$y=f[g(x)],x\in D$,
称为由函数 u=g(x) 与函数 y=f(u )构成的复合函数，它的定义域为$D_g$, 变量 u 称为中间变量
函数 g 与函数 f 构成的复合函数，即按 “先 g 后 f” 的次序复合的函数，通常记为 $f\circ g$, 即
$(f\circ g)(x)=f[g(x)]$.
与复合映射一样，g 与 f 能构成复合函数 $f\circ g$ 的条件是：函数 g 的值域 $R_g$, 必须包含于函数 f 的定义域 $D_f$, 即 $R_g\subset D_f$, 否则，不能构成复合函数

可以限制函数 g 的定义域，使满足 $R_g\subset D_f$, 构成复合函数

4. 函数的运算

设函数 f(x),g(x) 的定义域依次为 $D_f,D_g,D=D_f\cap D_g\ne \mathrm{\varnothing }$, 则我们可以定义这两个函数的下列运算：
和(差) $f\pm g:(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D$;
  积 $f·g:(f·g)(x)=f(x)·g(x),x\in D$;
   商$\frac{f}{g}:(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D/\{x|g(x)=0,x\in D\}$

5. 初等函数

幂函数：$y=x^u$ ($u\in R$ 是常数)

指数函数：$y=a^x(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$

对数函数：$y=lo{g}_{a}x(a>0\mathrm{且}a\ne 1,\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{当}a=e\mathrm{时}，\mathrm{记}\mathrm{为}y=lnx)$

三角函数：如 $y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x$ 等

反三角函数：如 $y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$等

  以上这五类函数统称为基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数

双曲函数及它们的反函数

习题