浅谈压缩感知（九）：正交匹配追踪算法OMP
主要内容：
-
OMP算法介绍
-
OMP的MATLAB实现
- OMP中的数学知识
一、OMP算法介绍
来源：http://blog.csdn.net/scucj/article/details/7467955
1、信号的稀疏表示(sparse representation of signals)
给定一个过完备字典矩阵
，其中它的每列表示一种原型信号的原子。给定一个信号y，它可以被表示成这些原子的稀疏线性组合。信号 y 可以被表达为 y = Dx ，或者
。字典矩阵中所谓过完备性，指的是原子的个数远远大于信号y的长度(其长度很显然是n)，即n<<k。
2、MP算法(匹配追踪算法)
2.1 算法描述
作为对信号进行稀疏分解的方法之一，将信号在完备字典库上进行分解。
假定被表示的信号为y，其长度为n。假定H表示Hilbert空间，在这个空间H里，由一组向量
构成字典矩阵D，其中每个向量可以称为原子(atom)，其长度与被表示信号 y 的长度n相同，而且这些向量已作为归一化处理，即|
，也就是单位向量长度为1。MP算法的基本思想：从字典矩阵D（也称为过完备原子库中），选择一个与信号 y 最匹配的原子(也就是某列)，构建一个稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最匹配的原子，反复迭代，信号y可以由这些原子来线性和，再加上最后的残差值来表示。很显然，如果残差值在可以忽略的范围内，则信号y就是这些原子的线性组合。如果选择与信号y最匹配的原子？如何构建稀疏逼近并求残差？如何进行迭代？我们来详细介绍使用MP进行信号分解的步骤：[1] 计算信号 y 与字典矩阵中每列(原子)的内积，选择绝对值最大的一个原子，它就是与信号 y 在本次迭代运算中最匹配的。用专业术语来描述：令信号
，从字典矩阵中选择一个最为匹配的原子，满足
，r0 表示一个字典矩阵的列索引。这样，信号 y 就被分解为在最匹配原子
的垂直投影分量和残值两部分，即：
。[2]对残值R1f进行步骤[1]同样的分解，那么第K步可以得到：
， 其中
满足
。可见，经过K步分解后，信号 y 被分解为：
，其中
。
2.2 继续讨论
(1)为什么要假定在Hilbert空间中？Hilbert空间就是定义了完备的内积空。很显然，MP中的计算使用向量的内积运算，所以在在Hilbert空间中进行信号分解理所当然了。什么是完备的内积空间？篇幅有限就请自己搜索一下吧。
(2)为什么原子要事先被归一化处理了，即上面的描述
。内积常用于计算一个矢量在一个方向上的投影长度，这时方向的矢量必须是单位矢量。MP中选择最匹配的原子是，是选择内积最大的一个，也就是信号(或是残值)在原子(单位的)垂直投影长度最长的一个，比如第一次分解过程中，投影长度就是
。
，三个向量，构成一个三角形，且
和
正交（不能说垂直，但是可以想象二维空间这两个矢量是垂直的）。
(3)MP算法是收敛的，因为
，
和
正交，由这两个可以得出
，得出每一个残值比上一次的小，故而收敛。
2.3 MP算法的缺点
如上所述，如果信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的，这会使得每次迭代的结果并不少最优的而是次最优的，收敛需要很多次迭代。举个例子说明一下：在二维空间上，有一个信号 y 被 D=[x1, x2]来表达，MP算法迭代会发现总是在x1和x2上反复迭代，即
，这个就是信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影的非正交性导致的。再用严谨的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空间H中，
，
，定义
，就是它是这些向量的张成中的一个，MP构造一种表达形式：
;这里的Pvf表示 f在V上的一个正交投影操作，那么MP算法的第 k 次迭代的结果可以表示如下(前面描述时信号为y，这里变成f了，请注意)：
如果 
是最优的k项近似值，当且仅当
。由于MP仅能保证
，所以
一般情况下是次优的。这是什么意思呢？
是k个项的线性表示，这个组合的值作为近似值，只有在第k个残差和
正交，才是最优的。如果第k个残值与
正交，意味这个残值与fk的任意一项都线性无关，那么第k个残值在后面的分解过程中，不可能出现fk中已经出现的项，这才是最优的。而一般情况下，不能满足这个条件，MP一般只能满足第k个残差和xk正交，这也就是前面为什么提到"信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的"的原因。如果第k个残差和fk不正交，那么后面的迭代还会出现fk中已经出现的项，很显然fk就不是最优的，这也就是为什么说MP收敛就需要更多次迭代的原因。不是说MP一定得到不到最优解，而且其前面描述的特性导致一般得到不到最优解而是次优解。那么，有没有办法让第k个残差与
正交，方法是有的，这就是下面要谈到的OMP算法。
3、OMP算法
3.1 算法描述
OMP算法的改进之处在于：在分解的每一步对所选择的全部原子进行正交化处理，这使得在精度要求相同的情况下，OMP算法的收敛速度更快。
那么在每一步中如何对所选择的全部原子进行正交化处理呢？在正式描述OMP算法前，先看一点基础思想。
先看一个 k 阶模型，表示信号 f 经过 k 步分解后的情况，似乎很眼熟，但要注意它与MP算法不同之处，它的残值与前面每个分量正交，这就是为什么这个算法多了一个正交的原因，MP中仅与最近选出的的那一项正交。
(1)
k + 1 阶模型如下：
(2)
应用 k + 1阶模型减去k 阶模型，得到如下：
(3)
我们知道，字典矩阵D的原子是非正交的，引入一个辅助模型，它是表示
对前k个项
的依赖，描述如下：
(4)
和前面描述类似，
在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的项是残值。这个关系用数学符号描述：
请注意，这里的 a 和 b 的上标表示第 k 步时的取值。
将(4)带入(3)中，有：
（5）
如果一下两个式子成立，(5)必然成立。
(6)
(7)
令
，有
其中
。
ak的值是由求法很简单，通过对(7)左右两边添加
作内积消减得到：
后边的第二项因为它们正交，所以为0，所以可以得出ak的第一部分。对于
，在（4）左右两边中与
作内积，可以得到ak的第二部分。
对于(4)，可以求出
，求的步骤请参见参考文件的计算细节部分。为什么这里不提，因为后面会介绍更简单的方法来计算。
3.2 收敛性证明
通过(7)
，由于
与
正交，将两个残值移到右边后求二范的平方，并将ak的值代入可以得到：
可见每一次残差比上一次残差小，可见是收敛的。
3.3 算法步骤
整个OMP算法的步骤如下：
由于有了上面的来龙去脉，这个算法就相当好理解了。
到这里还不算完，后来OMP的迭代运算用另外一种方法可以计算得知，有位同学的论文[2]描述就非常好，我就直接引用进来：
对比中英文描述，本质都是一样，只是有细微的差别。这里顺便贴出网一哥们写的OMP算法的代码，源出处不得而知，共享给大家。
二、OMP的MATLAB实现
1、一维信号重建
代码：
% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit) % 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构 % 编程人--香港大学电子工程系 沙威 Email: wsha@eee.hku.hk % 编程时间：2008年11月18日 % 文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm % 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007. clc;clear %% 1. 时域测试信号生成 K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来) N=256; % 信号长度 M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率) f1=50; % 信号频率1 f2=100; % 信号频率2 f3=200; % 信号频率3 f4=400; % 信号频率4 fs=800; % 采样频率 ts=1/fs; % 采样间隔 Ts=1:N; % 采样序列 x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号,由4个信号叠加而来 %% 2. 时域信号压缩传感 Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵 s=Phi*x.'; % 获得线性测量 ，s相当于文中的y矩阵 %% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题) %匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。 m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的 Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵 T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵) hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量 Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵) r_n=s; % 残差值 for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K) for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值) end [val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波 Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充 T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹 aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小 r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差 pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置 end hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量 hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号 %% 4. 恢复信号和原始信号对比 figure(1); hold on; plot(hat_x,'k.-') % 重建信号 plot(x,'r') % 原始信号 legend('Recovery','Original') norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重构误差
结果：
2、二维信号重建
代码：
% 本程序实现图像LENA的压缩传感 % 程序作者：沙威，香港大学电气电子工程学系，wsha@eee.hku.hk % 算法采用正交匹配法，参考文献 Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007. % 该程序没有经过任何优化 function Wavelet_OMP clc;clear % 读文件 X=imread('lena256.bmp'); X=double(X); [a,b]=size(X); % 小波变换矩阵生成 ww=DWT(a); % 小波变换让图像稀疏化（注意该步骤会耗费时间，但是会增大稀疏度） X1=ww*sparse(X)*ww'; % X1=X; X1=full(X1); % 随机矩阵生成 M=190; R=randn(M,a); % R=mapminmax(R,0,255); % R=round(R); % 测量值 Y=R*X1; % OMP算法 % 恢复矩阵 X2=zeros(a,b); % 按列循环 for i=1:b % 通过OMP，返回每一列信号对应的恢复值（小波域） rec=omp(Y(:,i),R,a); % 恢复值矩阵，用于反变换 X2(:,i)=rec; end % 原始图像 figure(1); imshow(uint8(X)); title('原始图像'); % 变换图像 figure(2); imshow(uint8(X1)); title('小波变换后的图像'); % 压缩传感恢复的图像 figure(3); % 小波反变换 X3=ww'*sparse(X2)*ww; % X3=X2; X3=full(X3); imshow(uint8(X3)); title('恢复的图像'); % 误差(PSNR) % MSE误差 errorx=sum(sum(abs(X3-X).^2)); % PSNR psnr=10*log10(255*255/(errorx/a/b)) % OMP的函数 % s-测量；T-观测矩阵；N-向量大小 function hat_y=omp(s,T,N) Size=size(T); % 观测矩阵大小 M=Size(1); % 测量 hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量 Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵) r_n=s; % 残差值 for times=1:M; % 迭代次数(稀疏度是测量的1/4) for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值) end [val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置 Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充 T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零） aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小 r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差 pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置 if (norm(r_n)<0.9) % 残差足够小 break; end end hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的向量
结果：
三、OMP算法中的数学知识
算法会有一些线性代数中的概念和知识，主要是关于子空间、最小二乘、投影矩阵等，详情请参考
