关于傅里叶分析与香农采样定理

主要内容：

1、傅里叶分析

2、香农采样定理

 

一、傅里叶变换

参考：

傅里叶分析之掐死教程 http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358

二、香农采样定理

香农采样定理说，只要采样频率大于被采样信号最高频率的两倍，就能完全恢复。

链接：http://www.zhihu.com/question/24490634/answer/28430016
来源：知乎

Nyquist采样定理是连接连续和离散的桥梁

　　现实世界接触到的诸如电信号、光信号、声音信号等这些信号都是随时间连续变化的，称之为连续信号。但对于计算机来说，处理这些连续的信号显然是无能为力，要使计算机能够识别、计算、处理这些连续信号就必须将其转化为离散信号，将连续信号转换为离散信号的过程就叫采样。常用的mp3、数码照片、视频等都是经过了采样，才能应用于计算机上。
　　采样后，计算机得到的是离散的点，用这些离散的点来代替连续的线就势必会产生误差，那么这个误差是不是在容许的范围内，根据采样得到离散的点能不能还原出连续的信号？于是

采样定理1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

　　通过这些大牛的努力，我们终于知道了连续和离散之间的关系。下面直接上图上例子：

　　先来定性分析：对于一个正（余）弦信号的曲线，我们并不需要将曲线上面每一点都记录下来，只需要就一些特殊点就够了，比如相邻两个零点的位置（上图红色的两个点）或者相邻的波峰和波谷的位置（上图绿色的两个点），只要是按照正（余）弦信号的规则，就能够根据这些特殊点还原出正（余）弦信号，用香农信息论的观点来看就是这两个点已经包含了正（余）弦信号的信息熵，两个点足矣。
　　再来定量分析：上图所示正弦信号周期为1，两个采样点，无论是相邻的两个零点还是相邻的波峰与波谷位置的间隔都是0.5，因此，可知采样的周期为0.5，恰好为正弦信号周期的一半。从频谱来看，采样使频谱发生的周期性延拓，为了使延拓后的频谱不发生混叠，因此，采样周期必须为信号周期的2倍。
当然，这只是分析了一个简单的正（余）弦信号，但是绝大多数信号都是能够进行傅里叶变换的，就意味着，不管一个信号多么复杂，总可以分解为若干个正（余）弦信号的和，对应了信号的频率分量。因此，Nyquist采样定理只需找到信号最大的频率分量，再用2倍于最大频率分量的采样频率对信号进行采样，从理论上解决了，离散信号能够重建出连续信号的问题。

　　故而，Nyquist采样定理是连接连续和离散的桥梁。