关于傅里叶分析与香农采样定理

主要内容:

1、傅里叶分析

2、香农采样定理

 

一、傅里叶变换

参考:

傅里叶分析之掐死教程 http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358

二、香农采样定理

香农采样定理说,只要采样频率大于被采样信号最高频率的两倍,就能完全恢复。

链接:http://www.zhihu.com/question/24490634/answer/28430016
来源:知乎

Nyquist采样定理是连接连续和离散的桥梁

  现实世界接触到的诸如电信号、光信号、声音信号等这些信号都是随时间连续变化的,称之为连续信号。但对于计算机来说,处理这些连续的信号显然是无能为力,要使计算机能够识别、计算、处理这些连续信号就必须将其转化为离散信号,将连续信号转换为离散信号的过程就叫采样。常用的mp3、数码照片、视频等都是经过了采样,才能应用于计算机上。
  采样后,计算机得到的是离散的点,用这些离散的点来代替连续的线就势必会产生误差,那么这个误差是不是在容许的范围内,根据采样得到离散的点能不能还原出连续的信号?于是
采样定理1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在许多文献中又称为香农采样定理。
  通过这些大牛的努力,我们终于知道了连续和离散之间的关系。下面直接上图上例子:

  先来定性分析:对于一个正(余)弦信号的曲线,我们并不需要将曲线上面每一点都记录下来,只需要就一些特殊点就够了,比如相邻两个零点的位置(上图红色的两个点)或者相邻的波峰和波谷的位置(上图绿色的两个点),只要是按照正(余)弦信号的规则,就能够根据这些特殊点还原出正(余)弦信号,用香农信息论的观点来看就是这两个点已经包含了正(余)弦信号的信息熵,两个点足矣。
  再来定量分析:上图所示正弦信号周期为1,两个采样点,无论是相邻的两个零点还是相邻的波峰与波谷位置的间隔都是0.5,因此,可知采样的周期为0.5,恰好为正弦信号周期的一半。从频谱来看,采样使频谱发生的周期性延拓,为了使延拓后的频谱不发生混叠,因此,采样周期必须为信号周期的2倍。
当然,这只是分析了一个简单的正(余)弦信号,但是绝大多数信号都是能够进行傅里叶变换的,就意味着,不管一个信号多么复杂,总可以分解为若干个正(余)弦信号的和,对应了信号的频率分量。因此,Nyquist采样定理只需找到信号最大的频率分量,再用2倍于最大频率分量的采样频率对信号进行采样,从理论上解决了,离散信号能够重建出连续信号的问题。
  故而,Nyquist采样定理是连接连续和离散的桥梁。
posted @ 2015-12-08 19:05  AndyJee  阅读(3935)  评论(0编辑  收藏  举报