浅谈压缩感知（一）：背景简介

1、动机与背景

数字化革命：

随着数字化技术的快速发展，电话、手机、相机、电视等数字化产品如雨后春笋般涌现市场，无时无刻不在影响着我们的生活，这是一个数字化的时代。

数码传感器的挑战：

在这样一个数字化时代，所有的数字信号采集都必须有相应的数字化的软硬件支撑。随着人们对于图像、视频等多媒体内容的需求和要求越来越高，对应的硬件设备如照相机、摄像机等信号采集的设备的压力也越来越大。比如，相片的分辨率越来越高，这就需要在照相机中内置越来越多的传感器，以采集质量更高的图像信号。此外还有其他一些目前传统信号采集方式无法有效满足的需求，不可见光如X射线、伽马射线等信号采集、高速视频采集等。

那么，在这样一个对信号采集越来越苛刻的需求下，有没有一种更有效的采集、传输、存储以及处理的方法呢？答案就是压缩感知。

首先，我们来了解一下传统的信号采集方法。

传统数字信号采集Digital Data Acquisition：

传统的数字信号采样定律就是有名的香农采样定理，又称那奎斯特采样定律，定理内容如下：

为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

下图分别为在时域和空域上的数字化采集。

基于香农采用定理，我们来看看目前传统图像信号采集设备的采样过程：

1、按照Nyquist采样率进行均匀采样，得到可以无失真恢复模拟信号的数字信号；uniformly sample data at Nyquist rate (2x Fourier bandwidth)

信号存在冗余，即信号具有稀疏性：

2、上述步骤得到的数字信号的数据量比较大，一方面不利于存储和传输，另一方面该数字信号本来存在很多冗余，可以对其进一步的压缩，于是就通过各种编码方法对数据进行有效的压缩；compress data

我们来分析一下上面的采样过程有什么不妥的地方？

相机的传感器通过将模拟信号（光）转换为数字信号（Nyquist定理采样），如N pixel的图像信号，之后又通过压缩编码算法将N pixel的图像信号转化为K个系数表示的数据，而K<<N，那么问题来了，为什么我们费了一番心思获得了N个采样值，却最后又通过复杂的编码算法将之压缩成K个数值？

基于这个疑问，我们引出了压缩感知的概念。

2、压缩感知：

什么是压缩感知

顾名思义，就是感知压缩，直接获取压缩后的数据。即在采集的时候，直接采集有效的M个测量值，而非满足Nyquist采样定理的N个采样值（M<<N）。

采集原理过程：

当信号是稀疏或可压缩的，我们可以以某个线性投影的方式来得到信号的压缩后表示condensed representation，（采集过程：降维）得到的数据能够以无失真或较低失真地方式重建原始的数字信号。（重建过程）

Y就是压缩后的信号表示

Φ表示采集的测量矩阵，可以是一个随机矩阵。

X代表原始的数字信号

采集过程就是一个线性投影过程，如上面的公式所示。

下图形象地描述了这个过程，Φ的每一行代表一次测量，M行则可以得到M个测量值。

压缩感知的采集过程如下：

接下来，我们来分析一下，为什么这样的一种采集方式是有效的？

随机投影矩阵Φ并不是满秩的（M<N），因此公式的左边两边并不是等价的过程，即已知y，不能直接求得x，可以说是存在信息损失的。

但是，随机投影矩阵在很大概率上保留了稀疏信号的结构和信息，即得到测量值y之后，我们可以以很大的概率来完美重建信号。

压缩感知理论公式：

了解了压缩感知的大致框架之后，我们从数学角度来考虑压缩感知这个问题。

从上面这个采集公式可以得出压缩感知的三个必要条件：

1. x：信号，满足稀疏性（在某个变换域内是稀疏的）
2. Φ：测量矩阵，满足一定的不相关性
3. 已知y，如何得到x：恢复算法（最优化方法，后续介绍）

    

4. x信号：

   

5. 测量：

压缩感知的特点：

通过利用信号稀疏性的先验知识，压缩感知采用了一种全新的数据采集方式。

1. 稳定性：采集和重建过程都是数值稳定的
2. 通用性：相同的测量投影（测量矩阵或硬件）可以用于不同的信号采集
3. 不对称性：（编码即采集简单，大部分计算在于解码即重建）
4. 民主性：每个测量值都携带着相同的信息，这样对于测量时的损失具有鲁棒性。