（数学）波斯公主选驸马

题目：

　　波斯公主到了适婚年龄，要选驸马。候选男子100名，都是公主没有见过的。百人以随机顺序，从公主面前逐一经过。每当一位男子在公主面前经过时，公主要么选他为驸马，要么不选。如果选他，其余那些还没有登场的男子就都遣散回家，选驸马的活动也结束了。如果不选，当下这名男子就离开，也就是 pass 掉此人，下一人登场。被pass 掉的，公主不可以反悔再从选。规则是，公主必须在这百人中选出一人做驸马，也就是说，如果前99人公主都看不中的话，她必须选择第100名男子为驸马，不管他有多么丑陋。​​

　　任务是，给公主设计选择方法，让她有最高概率选到百人中最英俊的男子为驸马。​​

思路：

　　说明一点是，没有任何选择方法能够保证公主一定选择到最帅的帅哥。对于任何选择方法，总存在某些出场的顺序，让公主与帅哥错过。所以，题目所问的，不是必胜的选法（因为不存在），而是概率最高的选法。

　　先给出答案：先拒绝前面的100/e名男子（e为自然对数，2.718...，100/e约等于37），记住这37名男子最英俊的一个，接着在后面的男子中，找到第一个比前面37名中最英俊的还英俊的男子，即为驸马。如果没遇上，那只好选第100个男子。

　　抽象为数学模型：即先拒绝掉k个人，然后在后面的人中找出更好的。

　　理论推导：如何求出最优的k呢？

　　对于某个固定的 k，如果最适合的人出现在了第 i 个位置（k < i ≤ n），要想让他有幸正好被 MM 选中，就必须得满足前 i-1 个人中的最好的人在前 k 个人里，这有 k/(i-1) 的可能。考虑所有可能的 i，我们便得到了试探前 k 个男生之后能选中最佳男生的总概率 P(k)：

　　用 x 来表示 k/n 的值，并且假设 n 充分大，则上述公式可以写成：

　　对 -x · ln x 求导，并令这个导数为 0，可以解出 x 的最优值，它就是欧拉研究的神秘常数的倒数—— 1/e ！

　　这个结论可以通过37%法则模拟实验来测试一下有多大概率选中，有空再贴出代码。

参考资料：

http://www.e-future.com.cn/news_details.php?nid=1702

http://songshuhui.net/archives/57722