（数学）灯泡亮灭问题

题目：

现在有10000个电灯，假设有10000个人经过这些电灯，当第1个人经过时，拉一下所有的灯，当第2个人经过时，拉一下所有2的倍数的灯，就这样，当第i个人经过时，就拉一下所有i的倍数的灯。假设所有灯的初始状态都是灭，那么当10000个人经过之后，还有多少灯是亮着的？

思路：

我们以10个灯泡，10个人为例，拉一下表示1，不拉表示0，横轴表示灯，竖轴表示人，因此可以得到以下的矩阵：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

可以看出，最后亮灯的就是1,4,9，因为它们被拉了奇数次。一种通用的方法就是将上述矩阵所有列进行异或操作，如果为1则亮，为0则灭。

那么亮灯的数字有什么规律吗？如上面的1,4,9....，好像很容易猜到是某个数的完全平方，为什么呢？我们来验证一下：

上面提到了，亮灯的是被拉了奇数次，而完全平方数的分解因子（即约数）一定为奇数个。下面通过归纳法来验证一下。

假设完全平方数为N，N=1*A^2，它的约数个数为奇数个；

假设A为质数，那么N的约数为1，A，N三个，为奇数；

假设A为完全平方数，那么N的约数为1，A，N，加上A的约数减去1和自身A，依旧为就奇数；

假设A为非完全平方数，那么N可以表示为A=B*C，这一步暂时不知怎么证明，但结果就是奇数；

总之，只有完全平方数，其约数个数为奇数，就是亮灯的情况。

因此，10000刚好为100的完全平方，因此有100盏灯亮着。

也可以通过代码来验证一下（很简单，通过两个循环就可以实现，这里就不贴代码了）