Poj 1061 青蛙的约会(扩展欧几里得解线性同余式）
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
Output
二、题目分析
这道题用到了扩展欧几里得算法解线性同余问题，小弟数论没怎么学。今天看到一篇精辟的题解，于是略作修改，引用之。原文请看http://blog.csdn.net/swordholy/article/details/4423543
根据题意可知，题目要求的是求(X + K * M)mod L=(Y + K * N)mod L这个模方程的k的最小整数解；跟据模的性质对这个方程变形得:K * ( M - N ) + T * L=Y--X( T为引进的一整数);
令A= (M - N) ; B = Y - X; 得：K * A + T * L =B ( 0)
看到这个式子是不是感觉很眼熟，对，它就是扩展欧几里得法能解的标准方程A * X + B * Y= D 的标准形；唯一的不同是扩展欧几里得D 是前面两系数A，B的最大公约数;而(0)式中的B就不能保证了。
1、不过没关系，先用扩展欧几里得得出K * A + T *L=gac(A,L) 的一个解k0,t0;再观察两个式子：
K * A + T * L =B ( 0)
K0 * A + T0 * L=D (1) (令D = gcd(A,L))
将(0)式两边都除以D，得：
K * （A / D）+ T * (L /D)=B/D
因为D为A,B的最大公约数，所以A / D,L / D为整数，所以B / D必定为整数，否则方程无解；
将(1)式两边都乘以B / D 与( 0 )式比较：
K * A + T * L =B ( 0)
K0 *( B / D) * A + T0 *( B / D)* L=B (1)
得K = K0 * B / D; T = T0 * B / D;
2、接下来就是由一个解扩展成一个解系：
( 1）除以D得： K0 * (A / D ) + T0 * ( L / D）=1
因为(A / D )和( L / D）互质，将方程写成：
(K0 + U * ( L / D）) * (A / D ) + ( T0 + V * (A / D ) ) * ( L / D）=1;
只要U * ( L / D） * (A / D ) + V * (A / D ) ) * ( L / D）=0成立就行；
所以K ，T 的解系可以写成 k = (K0 + U * ( L / D）) * (B / D ) ,T=( T0 + V * (A / D ) ) * ( B / D）
接下来就是求k的最小整数解了；
因为K = (K0 mod (L / D) + (U + K0 / ( L / D) ) * ( L / D)) * (B / D);
所以Kmin=(K0 * (B / D)) mod (L / D);
3、 大功基本高成了，还差最后一步，那就是如何用扩展欧几里得解K * A + T * L=gac(A,L)
对A * X + T * L = D;
递归调用时令A = B ; B = A % B;(辗转相除法,求最大公约数)
将其变为形式（2） B * X + A % B * Y = D;
变形:B * X + A * Y - (A / B) * B * Y = D;
再变:A * Y+ B ( X - A / B * Y)=D; (3)
与(2）式B * X + A % B * Y = D;比较:
得：
当A = B ; B = A % B时：X = Y ; Y = X - A / B * Y;调用过程中的X , Y 就是对应的A , B 的解；当回到顶层时，A , B 就 是最初的A ，B,所以此时的X，Y就是所求解。
三、Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static long x0, y0;
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
long x = scan.nextInt();
long y = scan.nextInt();
long m = scan.nextInt();
long n = scan.nextInt();
long L = scan.nextInt();
if (x > y) {
long t = y;
y = x;
x = t;
t = n;
n = m;
m = t;
}
long a = Math.abs(m - n);
long b = L;
long c;
if (m > n) {
c = y - x;
} else {
c = x - y + L;
}
long d = gcd(a , b);
if(c%d!=0){
System.out.println("Impossible");
}else{
long add1 = x0*c/d ;
long add2 = Math.abs(b/d);
while( add1 <0 ){
add1 += add2;
}
while(add1 - add2 >= 0){
add1 -= add2;
}
System.out.println(add1);
}
}
public static long gcd(long a, long b) {
long t, d;
if (b == 0) {
x0 = 1;
y0 = 0;
return a;
}
d = gcd(b, a % b);
t = x0;
x0 = y0;
y0 = t - a / b * y0;
return d;
}
}
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