P2618 数字工程

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Solution

不妨转换一下思路，\(n\) -> \(1\) 和 \(1\) -> \(n\) 是等价的。设 \(f_i\) 表示从 \(1\) 到 \(i\) 的最少步数，那么两种操作变成了：

\(1.\) 加上 \(1\)

\(2.\) 乘以一个素数

设 \(prim\) 是已经筛出的 \(≤10^6\) 的素数（筛的时候 \(O(n \sqrt{n})\) 就行，不需要筛法），转移方程式：

\[f_{i*prim_j}=\max(f_{i*prim_j}, f_i+1) (i * prim_j ≤ 10^6) \]

\[f_{i+1}=\max(f_{i+1}, f_i+1) \]

数据范围有整整 \(10^6\)，看起来非常不好做，然而只需要暴力预处理 \(f\) 数组，像这样循环：

for(int j = 1; i * prim[j] <= 1000000 && j <= cnt; j++)

可以优化掉不少不必要的操作，多测时直接回答询问，就能跑得很快。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 2333333;
int n, cnt = 0, f[N], prim[N];

int main()
{
    for(int i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        int fl = 1;
        for(int j = 2; j <= sqrt(i); j++)
            if(i % j == 0) { fl = 0; break; }
        if(fl == 1) prim[++cnt] = i;
    }
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[1] = 0;
    for(int i = 1; i <= 1000000; i++)
    {
        for(int j = 1; i * prim[j] <= 1000000 && j <= cnt; j++)
            f[i * prim[j]] = min(f[i * prim[j]], f[i] + 1);
        f[i + 1] = min(f[i + 1], f[i] + 1);
    }
    while(cin >> n) printf("%d\n", f[n]);
    return 0;
}