题目集合母函数（生成函数）（普通型型母函数指数型母函数）（涉及知识点背包多项式乘法排列组合泰勒展开）

总结的不错的博客 https://www.cnblogs.com/icodefive/p/4578530.html

重要公式

图片来源 https://blog.csdn.net/qq_41357771/article/details/83449481

来源于百度

（一）普通型母函数

1. 经典问题我有1元 2元 5元的硬币无限个我如果要组成n元有多少种方案

　　　（1）解决方法很多

　　　 (2) 母函数解决方法构建母函数（1+x+x²+x³+....+xⁿ)*(1+x²+x⁴+x⁶+....+x²ⁿ)*(1+x⁵+x¹⁰+x¹⁵+...+x⁵ⁿ)

　　　　　　　　　　　　　求出这个多项式 a0+a1x¹ +a2x²+.......anxⁿ 拼成 n元的方案就是an个

2. hdu 1028 (和上述问题差不多)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e2+50;
int a[maxn][maxn];
int ans[maxn];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=n;j+=i){
                a[i][j]=1;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(i==1){
                for(int j=0;j<=n;j++){
                    ans[j]=a[i][j];
                }
            }
            else {
                for(int j=0;j<=n;j++){
                    a[i-1][j]=ans[j]; ans[j]=0;
                }
                for(int j=0;j<=n;j++){
                    for(int k=0;k<=n;k++){
                        if(j+k>n) continue;
                        ans[j+k]+=a[i-1][j]*a[i][k];
                    }
                }

            }
        }
        printf("%d\n",ans[n]);
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++)
            a[i][j]=0;
            ans[i]=0;
        }
    }
}

hdu 1028

hdu 1028

3. hdu 1085 (暴力)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=8000+10;
int a[maxn];
int b[maxn];
int c[maxn];
int ans[maxn];
int num[maxn];
int main(){
    int x,y,z;
    while(cin>>x>>y>>z){
        if(x==0 &&y==0 && z==0){break; }
        int n=1*x+2*y+5*z;
       //cout<<n<<endl;
        for(int i=0;i<=x;i++)  a[i]=1;
        for(int i=0;i<=y;i++)  b[2*i]=1;
        for(int i=0;i<=z;i++)  c[5*i]=1;
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++){
                if(i+j>n) continue;
                ans[i+j]+=a[i]*b[j];
            }
        }
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++){
                if(i+j>n) continue;
                num[i+j]+=ans[i]*c[j];
            }
        }
        int k=n+1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(num[i]==0) k=min(i,k);
        }
        cout<<k<<endl;
        for(int i=0;i<=n;i++){
            a[i]=b[i]=c[i]=ans[i]=num[i]=0;
        }
    }
}

hdu 1085

hdu 1085

4. hdu 4651 (拆分数) P(n) 拆分数+广义五边形优化 ****注意和贝尔数的区别******

五边形数 (1ll*3*x*x-x)*inv2%mod;

五边形数范围 0-n;

广义五边形数范围 0 1 -1 2 -2 3 -3

p(k) = p(k − 1) + p(k − 2) − p(k − 5) − p(k − 7) + p(k − 12) + p(k − 15) − p(k − 22) − ...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
const int inv2=(1+mod)/2;
int wu[maxn];    // 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35....
            //    i 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 , 5.....
int flug[maxn];
int chai[maxn];  // 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42 ,56,77,101,135......
int five(int x){
    return (1ll*3*x*x-x)*inv2%mod;
}
void init(){
    wu[0]=five(0);
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        if(i%2==1) wu[i]=five(i/2+1);
        else       wu[i]=five(-i/2);
    }
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        int x=(i+1)/2;
        if(x%2==1) flug[i]=1;
        else       flug[i]=-1;
    }
    //for(int i=0;i<maxn;i++) cout<<wu[i]<<" "; cout<<endl;
    //for(int i=0;i<maxn;i++) cout<<flug[i]<<" "; cout<<endl;
    chai[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        for(int j=1;wu[j]<=i;j++){
            chai[i]+=flug[j]*chai[i-wu[j]];
            chai[i]%=mod;
        }
    }
    //for(int i=0;i<20;i++) cout<<chai[i]<<" "; cout<<endl;
}
int32_t main(){
    init();
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n; scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",(chai[n]%mod+mod)%mod);
    }
}

hdu 4651

hdu 4651

5 hdu 4658 (拆分数) （条件限制）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
const int inv2=(1+mod)/2;
int wu[maxn];    // 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35....
            //    i 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 , 5.....
int flug[maxn];
int chai[maxn];  // 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42 ,56,77,101,135......

int cmp[maxn];

int five(int x){
    return (1ll*3*x*x-x)*inv2%mod;
}
void init(){
    wu[0]=five(0);
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        if(i%2==1) wu[i]=five(i/2+1);
        else       wu[i]=five(-i/2);
    }
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        int x=(i+1)/2;
        if(x%2==1) flug[i]=1;
        else       flug[i]=-1;
    }
    //for(int i=0;i<maxn;i++) cout<<wu[i]<<" "; cout<<endl;
    //for(int i=0;i<maxn;i++) cout<<flug[i]<<" "; cout<<endl;
    chai[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        for(int j=1;wu[j]<=i;j++){
            chai[i]+=flug[j]*chai[i-wu[j]];
            chai[i]%=mod;
        }
    }
    //for(int i=0;i<20;i++) cout<<chai[i]<<" "; cout<<endl;


}
int ffind(int n,int k){
    int ans=chai[n];
    //cout<<n<<"  "<<k<<endl;

    for(int j=1;k*wu[j]<=n;j++){
           // cout<<k*wu[j]<<endl;
        if(j%4==1 || j%4== 2 ) ans-=chai[n-k*wu[j]];
        else  ans+=chai[n-k*wu[j]];
        ans%=mod;
    }
    return (ans%mod+mod)%mod;
}
int32_t main(){
    init();
    int T; scanf("%d",&T);

    while(T--){
        int n,k; scanf("%d %d",&n,&k); int x=ffind(n,k);
        printf("%d\n",x);
    }
}

hdu 4658

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6. hdu 6042

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
const int inv2=(1+mod)/2;
int wu[maxn];    // 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35....
                 //i0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 , 5.....
int flug[maxn];
int chai[maxn];  // 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42 ,56,77,101,135......
int five(int x){ return (1ll*3*x*x-x)*inv2%mod; }
void init(){
    wu[0]=five(0);
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        if(i%2==1) wu[i]=five(i/2+1);
        else       wu[i]=five(-i/2);
    }
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        int x=(i+1)/2;
        if(x%2==1) flug[i]=1;
        else       flug[i]=-1;
    }
    chai[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        for(int j=1;wu[j]<=i;j++){
            chai[i]+=flug[j]*chai[i-wu[j]];
            chai[i]%=mod;
        }
    }
}
int a[maxn];
int b[maxn];
int dp[maxn]; //   work-  chang shu
void work(int n)   {   //  (1-(x^(a[i]*i+i) )
    for(int i=0;i<=2*n;i++)
        dp[i]=chai[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2*n;j>=1ll*(a[i]+1)*i;j--){  // n*sqrt(n);
            dp[j]-=dp[j-(a[i]+1)*i];
            dp[j]=(dp[j]%mod+mod)%mod;
        }
    }
}
int num[maxn];
void slove(int n){
    num[0]=dp[0];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        num[i]=num[i-1]+dp[i];
        num[i]%=mod;
    }
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++){
        dp[i]-=num[i-n-1];
    }
    for(int i=0;i<=2*n;i++)  dp[i]=(dp[i]%mod+mod)%mod;
}
int32_t main(){
    init();
    int n,m;  int cs=0;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
        work(n);
        slove(n);
        int mm=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) {mm+=dp[2*n-b[i]]; mm=mm%mod;}
                printf("Case #%d: ", ++cs);
                printf("%d\n",mm);
        for(int i=0;i<=2*n;i++){  a[i]=b[i]=dp[i]=num[i]=0; }
    }
    return 0;
}
/*
3
2 3    //  2 6 12
3 3
*/

hdu 6042 17多校

hdu 6042

7 hdu 5689 (母函数+NTT)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int maxn=1e6+10;
//int a[maxn];
ll b[maxn];
ll c[maxn];
ll d[maxn];
ll WWW[maxn];
ll qpow(ll base,ll k)
{
    ll tmp=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) tmp=tmp*base%mod;
        base=base*base%mod;
        k>>=1;
    }
    return tmp;
}
void NTT(ll *a,int n,int flag)
{
    for(int i=0,k=0;i<n;++i)
    {
        if(i>k) swap(a[i],a[k]);
        for(int j=(n>>1);(k^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        ll wn=qpow(3, (mod-1)/(i<<1));
        if(flag==-1) wn=qpow(wn, mod-2);
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1,x,y;
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                x=a[j+k], y=1ll*w*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(1ll*x+y)%mod, a[j+k+i]=(1ll*x-y+mod)%mod;
                w*=wn, w%=mod;
            }
        }
    }
    if(flag==-1)
    {
        ll rev=qpow(n, mod-2);
        for(int i=0;i<n;++i) a[i]=(1ll*a[i]*rev)%mod;
    }
}
void make(int n,int m,ll *A,ll *B){
    int len=0;
    for(len=1;len<(n+m+1);len<<=1);

    NTT(A,len,1);
    NTT(B,len,1);
    for(int i=0;i<len;++i) A[i]=(1ll*A[i]*B[i])%mod;
    NTT(A,len,-1);
    for(int i=n;i<len;++i) A[i] = 0;
   // NTT(B,len,-1);
}
const int N=2e6+10;
ll xx[N];
ll yy[N];
void inint(){
    xx[0]=1; yy[0]=1; int n=N-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)   xx[i]=xx[i-1]*i%mod;
    yy[n]=qpow(xx[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=1;i--) yy[i]=yy[i+1]*(i+1)%mod;
}
int CC(int n,int w){
    if(w>n) return 0;
    return 1ll*xx[n]*yy[w]%mod*yy[n-w]%mod;
}
int main(){
   inint(); //cout<<CC(1000000,5000)<<endl;
   int T; scanf("%d",&T);
   while(T--){
       int n,m; scanf("%d %d",&n,&m);
       for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&WWW[i]);
       int x=0,y=0,z=0;
       for(int i=1;i<=m;i++){
            int w; scanf("%d",&w);
        if(w==1) x++;
        if(w==2) y++;
        if(w==3) z++;
       }
       if(x) { for(int i=0;i<n;i++) if(i%1==0) { int t=i/1; b[i]=CC(x+t-1,t); }  }
       if(y) { for(int i=0;i<n;i++) if(i%2==0) { int t=i/2; c[i]=CC(y+t-1,t); }  }
       if(z) { for(int i=0;i<n;i++) if(i%3==0) { int t=i/3; d[i]=CC(z+t-1,t); }  }
       if(x) make(n,n,WWW,b); 
       if(y) make(n,n,WWW,c);
       if(z) make(n,n,WWW,d);  ll ans=0;
       for(int i=0;i<n;i++)  { WWW[i]=(WWW[i]%mod+mod)%mod; ans=( ans^( (i+1)*WWW[i]) );}
       printf("%lld\n",ans);
       memset(WWW,0,sizeof(WWW));
       memset(b,0,sizeof(b));
       memset(c,0,sizeof(c));
       memset(d,0,sizeof(d));
   }
   return 0;
}

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（二）指数型母函数

　1. 经典问题有n个位置编号1-n 每个位置可以填1-m种的任意数 (答案m的n次方....别管....)

　　我们考虑 n=3; m=2;的情况（太大了写不了）

　　方案数 (1,1,1）(1 1 2) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,1) 8个方案

　　1出现2次 2出现1次的方案数有3种计算方式 3!/(2!)/(1!) !表示阶乘

　　我们就可以构造母函数（1+x/(1!)+x²/(2!)+x³/(3!)+....+xⁿ/(n!) ) *（1+x/(1!)+x²/(2!)+x³/(3!)+....+xⁿ/(n!) ) *....... （m个多项式相乘）

　　求出这个多项式 a0+a1x¹ +a2x²+.......anxⁿ 拼成 n元的方案就是an * (n!) 个

　2.计蒜客 2019 icpc 上海网络赛 Counting Sequences II https://nanti.jisuanke.com/t/41413

　　题意是有n个位置(1e18) 每个位置可以发1-m （2e5）问每个偶数出现偶数次的排列有多少个

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
const int mod=1e9+7;
int A[maxn];
int B[maxn];
ll quick(ll x,ll n){
    ll ans=1;
    x%=mod;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n=n/2;
    }
    return ans;
}
void init(){
    int n=maxn-1;
    A[0]=1;  for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=1ll*A[i-1]*i%mod;
    B[n]=quick(A[n],mod-2);
    B[0]=1;  for(int i=n-1;i>=1;i--) B[i]=1ll*B[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int n,int x){
    if(n<x) return 0;
    return 1ll*A[n]*B[x]%mod*B[n-x]%mod;
}
int main(){
    init();
    int T; scanf("%d",&T);
while(T--){
    ll n,m; scanf("%lld %lld",&n,&m);
    ll ans=0;
    int x=quick(2,m/2);
    int y=1ll*quick(x,mod-2);
    for(int i=0;i<=m/2;i++){
        ans+=C(m/2,i)%mod*quick(m-2*i,n)%mod;
    }
    printf("%lld\n",1ll*ans%mod*y%mod);
}
}

计蒜客

hdu 1521 简单题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=20;
int a[maxn];
int c[maxn];
int d[maxn];
int A[maxn];
int main(){
    int n,m;
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(A,0,sizeof(A));
    for(int i=1;i<=n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    A[0]=1; for(int i=1;i<=10;i++) A[i]=A[i-1]*i;
    c[0]=A[m];

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=10;j++){ d[j]=c[j]; c[j]=0; }
        for(int j=0;j<=10;j++){
            for(int k=0;k<=a[i];k++){
                if(j+k>m) continue;
                c[j+k]+=d[j]/A[k];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",c[m]);
}
}

hdu 1521

hdu 1171 多重背包为什么要用母函数写....

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[60];
int b[60];
vector<int> vs;
vector<int> vq;
bool bbb[300000];
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n) && n>=0){
        vs.clear();
        vq.clear();
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
           scanf("%d %d",&a[i],&b[i]);
           sum+=a[i]*b[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(i==1){
                for(int j=0;j<=b[i];j++){
                    vs.push_back(a[i]*j);
                }
            }
            else {
                for(int j=0;j<vs.size();j++){
                    for(int k=0;k<=b[i];k++){
                        if(bbb[a[i]*k+vs[j]]==1 || a[i]*k+vs[j]>sum/2) continue;
                        vq.push_back(a[i]*k+vs[j]);
                        bbb[a[i]*k+vs[j]]=1;
                    }
                }
                vs.clear();
                vs=vq; vq.clear();
                for(int x=0;x<vs.size();x++){
                    bbb[vs[x]]=0;
                }
            }
        }
        int k=100000000;
        int A=0;
        int B=0;
        for(int i=0;i<vs.size();i++){
            int x=min(vs[i],sum-vs[i]);
            int y=max(vs[i],sum-vs[i]);
            if(y-x<=k){
                k=y-x;
                A=y;
                B=x;
            }
        }
        printf("%d %d\n",A,B);
    }
}

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发表于 2019-09-25 15:35 Andromeda_Galaxy 阅读(376) 评论(0) 编辑收藏举报

题目集合 母函数（生成函数）（普通型型母函数 指数型母函数） （涉及知识点 背包 多项式乘法 排列组合 泰勒展开）

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