【DP】编辑距离

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【题目描述】

设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作共有三种：

1、删除一个字符；

2、插入一个字符；

3、将一个字符改为另一个字符。

对任意的两个字符串A和B，计算出将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作次数。

【输入】

第一行为字符串A；第二行为字符串B；字符串A和B的长度均小于2000。

【输出】

只有一个正整数，为最少字符操作次数。

【输入样例】

sfdqxbw
gfdgw

【输出样例】

    4

【思路】

动态规划思想，题目问的是字符串a到字符串b的编辑距离。动态规划有最优子问题结构，子问题的形式和原问题结构相似，且规模减小。那么在考虑问题的时候，往前想一步：

·如果字符串a前alen-1个字符已经和b相同，那么当前a到b的编辑距离就是1（删除最后一个）

·如果字符串a和b的前blen-1个字符相同，那么当前a到b的距离也是1（添加一个）

·如果a的前alen-1个字符和b的blen-1个字符已经相同，如果a的最后一个字符和b的最后一个字符相同，那么a到b的编辑距离为0，否则为1（改变一次）

设状态为dp[i][j],表示字符串a的前i个字符到字符串b的前j个字符的编辑距离，由以上分析，可以写出该dp的状态转移方程：

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1])(a的第i个字符和b的第j个字符相同)

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1)(a的第i个字符和b的第j个字符不同)

详细代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2000+5
int d[maxn][maxn];
int min(int a,int b,int c)
{
    if(a>b) swap(a,b);
    if(a>c) swap(a,c);
    return a; 
 } 
int main()
{
    char a[maxn],b[maxn];
    cin>>a;
    cin>>b;
    memset(d,0,sizeof(d));
    int len1=strlen(a);
    for(int i=1;i<=len1;i++)
    {    
        d[i][0]=i;
    }
    int len2=strlen(b);
    for(int i=1;i<=len2;i++)
    {
        d[0][i]=i;
    } 
    for(int i=1;i<=len1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=len2;j++)
        {
            d[i][j]=min(d[i-1][j]+1,d[i][j-1]+1,d[i-1][j-1]+(a[i-1]==b[j-1]?0:1));
        }
    }
    cout<<d[len1][len2]<<endl;
    return 0;
}