skip list

跳表是个概率性数据结构，可以被看作是二叉树的一个变种。跳表是由William Pugh在1990年发明的。它是一种用户维护有序元素的数据结构。
一个跳表，应该具有以下特征：
1.一个跳表应该有几个层（level）组成；
2.跳表的第一层包含所有的元素；
3.每一层都是一个有序的链表；
4.如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
5.第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
6.在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
7.Top指针指向最高层的第一个元素。

跳表的构造过程是：
1、给定一个有序的链表。
2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。

复杂度：
1.The expected number of levels is O( log n )
(here n is the numer of elements)
2.The expected time for insert/delete/find is O( log n )
3.The expected size (number of cells) is O(n )

 

关于时空效率的证明：
1. 空间复杂度 O(n)：
对于每层的期待：第一层n，第二层n/2，第三层n/22，...，直到 n/2log n=1。所以，总空间需求：
S = n + n/2 + n/22 + ... + n/2log n < n(1 + 1/2 + 1/22 + ... + 1/2∞) =2n
因此他的空间复杂度为 2n = O(n)

2. Skip List高度：
对每层来说，它会向上增长的概率为1/2，则第m层向上增长的概率为1/2m；n个元素，则在m层元素数目的期待为Em = n/2m；当Em = 1，m = log2n即为层数的期待。故其高度期待为 Eh = O(log n)。
*关于“高概率（high probability）”的定义：
（参考【3】【4】）
对于事件A，如果它发生的概率至少为1-cα/nα，其中cα仅取决于α，那么我们称它为高概率。
在牺牲时间和/或空间的情况下，我们可以选择α的值。

3. 查找的复杂度：
claim：在高概率的前提下，查找的时间复杂度为O(log n)
4. 插入的复杂度：
claim：在高概率的前提下，插入的时间复杂度为O(log n)
首先通过查找找到要插入的位置：O(log n)
之后进行插入，同时对每层进行对应的更新（依照概率决定是否向上增长）：o(log n)

5. 删除的复杂度：
claim：在高概率的前提下，删除的时间复杂度为O(log n)

参考资料：
http://www.kernelchina.org/algorithm/SL.ppt
http://epaperpress.com/sortsearch/skl.html
http://www.spongeliu.com/63.html
http://www.cnblogs.com/flyfy1/archive/2011/02/24/1963347.html
http://courses.csail.mit.edu/6.046/spring04/handouts/skiplists.pdf

/**
 *
跳表是个概率性数据结构，可以被看作是二叉树的一个变种。跳表是由William Pugh在1990年发明的。它是一种用户维护有序元素的数据结构。
一个跳表，应该具有以下特征：
1.一个跳表应该有几个层（level）组成；
2.跳表的第一层包含所有的元素；
3.每一层都是一个有序的链表；
4.如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
5.第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
6.在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
7.Top指针指向最高层的第一个元素。

跳表的构造过程是：
1、给定一个有序的链表。
2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。

复杂度：
1.The expected number of levels is O( log n )
(here n  is the numer of elements)
2.The expected time for insert/delete/find is O( log n )
3.The expected size (number of cells) is O(n )

关于时空效率的证明：
1. 空间复杂度 O(n)：
    对于每层的期待：第一层n，第二层n/2，第三层n/22，...，直到 n/2log n=1。所以，总空间需求：
    S = n + n/2 + n/22 + ... + n/2log n < n(1 + 1/2 + 1/22 + ... + 1/2∞) =2n
    因此他的空间复杂度为 2n = O(n)

2. Skip List高度：
    对每层来说，它会向上增长的概率为1/2，则第m层向上增长的概率为1/2m；n个元素，则在m层元素数目的期待为Em = n/2m；当Em = 1，m = log2n即为层数的期待。故其高度期待为 Eh = O(log n)。
*关于“高概率（high probability）”的定义：
    （参考【3】【4】）
    对于事件A，如果它发生的概率至少为1-cα/nα，其中cα仅取决于α，那么我们称它为高概率。
     在牺牲时间和/或空间的情况下，我们可以选择α的值。

3. 查找的复杂度：
  claim：在高概率的前提下，查找的时间复杂度为O(log n)
4. 插入的复杂度：
   claim：在高概率的前提下，插入的时间复杂度为O(log n)
    首先通过查找找到要插入的位置：O(log n)
    之后进行插入，同时对每层进行对应的更新（依照概率决定是否向上增长）：o(log n)

5. 删除的复杂度：
   claim：在高概率的前提下，删除的时间复杂度为O(log n)


参考资料：
http://www.kernelchina.org/algorithm/SL.ppt
http://epaperpress.com/sortsearch/skl.html
http://www.spongeliu.com/63.html
http://www.cnblogs.com/flyfy1/archive/2011/02/24/1963347.html
http://courses.csail.mit.edu/6.046/spring04/handouts/skiplists.pdf
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>


#define MAX_LEVEL 10  //the max level

/**
 * node
 */
typedef struct nodeStructure {
    int key;
    int value;
    struct nodeStructure *forward[MAX_LEVEL];
    int name;
} nodeStructure;

/**
 * skip list
 */
typedef struct skiplist {
   int level;
   nodeStructure *header;
} skiplist;

/**
 * create node
 */
nodeStructure* createNode(int level,int key,int value) {
    nodeStructure *ns = (nodeStructure *) malloc(sizeof(nodeStructure));
    for(int i = 0; i < level;i++) {
        ns->forward[i] = NULL;
    }
    ns->key = key;
    ns->value = value;
    ns->name = key;
    return ns;
}

/**
 * initate skiplist
 */
skiplist* createSkiplist() {
    skiplist *sl = (skiplist *) malloc(sizeof(skiplist));
    sl->level = 0;
    sl->header = createNode(MAX_LEVEL - 1,0,0);
    for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; i ++){
       sl->header->forward[i] = NULL;
    }

    return sl;
}

/**
 * just like throw coins
 */
int randomLevel() {
    int k = 1;
    while(rand()%2) {
        k++;
    }

    k = (k < MAX_LEVEL) ? k : MAX_LEVEL;
    return k;
}

bool insert(skiplist *sl, int key, int value) {
   nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
   nodeStructure *p,*q;
   p = sl->header;
   int k = sl->level;
   //Search from top level to low
   for(int i = k - 1 ; i >= 0; i -- ) {
        while((q = p->forward[i]) && (q->key < key)) {
             p = q;
        }

        update[i] = p;    //若新的key所存在第i层，则当前节点的第i个forword会指向新节点
   }

   if(q && q->key == key) {
       return false;
   }
   //创建新的节点
   int new_level = randomLevel();
   if( new_level > sl->level) {
        for(int i = sl->level; i < new_level; i++){
            update[i] = sl->header;  //header的第level--k 层的下一节点都将指向新节点
        }

        sl->level = new_level;
   }

   q = createNode(new_level,key,value);
   for(int i = 0; i < new_level; i ++) {
        q->forward[i] = update[i]->forward[i];
        update[i]->forward[i] = q;
        //printf("%d\n",update[i]->forward[i]->value);
   }

   return true;
}


nodeStructure* search(skiplist *sl, int key) {
   nodeStructure *p,*q = NULL;
   p = sl->header;
   int level = sl->level;
   for( int i = level - 1; i >= 0; i--){
       while((q=p->forward[i]) && (q -> key < key)) {
           p = q;
       }

       if(q && q->key == key) {
           return q;
       }
   }
   return NULL;
}

bool deleteSL(skiplist *sl, int key){
    nodeStructure *p,*q = NULL;
    nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
    int level = sl->level;
    p = sl->header;

    for(int i = level - 1; i >= 0; i --){
       while((q = p->forward[i]) && q->key < key) {
           p = q;
       }
       update[i] = p;
    }

    if(q && q->key == key) {
         //从最下面一层开始更新
        for(int i = 0; i < sl->level ;i ++) {
             if(update[i]->forward[i] == q) {
                 update[i]->forward[i] = q->forward[i];
                 //printf("update[%d]->name:%d\n",i,update[i]->name);
             } else { //个人觉得当不等时，i既是q的level数，不需要再往下遍历
                 break;
             }
        }

        free(q);

        //如果被删的是最高level的节点，需维护新跳表
        for( int i = sl->level - 1; i >= 0; i --) {
            if(sl->header->forward[i] == NULL) {
                sl->level --;
            }
        }
        return true;
    }
   return false;
}

/**
 * 从最高层开始打印
 */
void printSL(skiplist *sl) {
   nodeStructure *p,*q = NULL;
   int level = sl->level;

   for(int i = level - 1; i >= 0; i--) {
         p = sl->header;
         while((q=p->forward[i])) {
             printf("%d(%d) -> ",q->key,q->value);
             p=q;
         }

         printf("\n");
   }

   printf("\n");
}

int main() {
    skiplist *sl = createSkiplist();
    for(int i = 1; i <= 19; i++) {
      insert(sl,i,i*2);
    }

    printSL(sl);

    //search
    nodeStructure* i = search(sl,4);
    printf("key=>%d,value=>%d\n",i->key,i->value);

    bool b = deleteSL(sl,4);
    if(b) {
        printf("Delete success\n");
    }

    printSL(sl);
    return 0;
}