《动手学深度学习 Pytorch版》 3.6 softmax回归的从零开始实现

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256  # batch_size 设为256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)  # 仍使用 Fashion-MNIST 数据集

3.6.1 初始化模型参数

num_inputs = 784  # 本节暂不利用图像空间结构的特征，直接将 28 像素* 28 像素的图像直接展开长度为 784 的向量
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)  # 仍使用正态分布初始化权重
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)  # 偏置初始化为0

3.6.2 定义 softmax 操作

X = torch.tensor([[1., 2., 3.], [4., 5.,6.]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)  # 非降维求和 参见2.3.6

(tensor([[5., 7., 9.]]),
 tensor([[ 6.],
         [15.]]))

softmax 表达式为：

$$\mathrm{softmax}(\boldsymbol{X})_{ij}=\frac{\exp(\boldsymbol{X}_{ij})}{\sum_k\exp(\boldsymbol{X}_{ik})}$$

实现 softmax 由以下 3 个步骤组成：

1. 对每个项求幂；
2. 对每一行求和，得到每个样本的规范化常数；
3. 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为 1。

# 需要注意的是，此处的实现是比较草率的，例如没有考虑到小浮点数的上溢或下溢。
def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 此处利用了广播机制

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)  # 可以看到 softmax 把所有元素转变为非负数且总和为1

(tensor([[0.2964, 0.0195, 0.1694, 0.0586, 0.4561],
         [0.1822, 0.5175, 0.0971, 0.1586, 0.0446]]),
 tensor([1.0000, 1.0000]))

3.6.3 定义模型

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)  # 如 3.6.1 所述，此处将图像展平

3.6.4 定义损失函数

此处使用分类问题常用的交叉熵损失函数，如 3.4.6 所讲，交叉熵采用实际标签的预测概率的负对数似然。此处不使用低效的 for 循环，而是通过一个运算符选择所有元素。

# 举个栗子
y = torch.tensor([0, 2])  # 标签
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])  # 预测概率
y_hat[[0, 1], y]  # 相当于 torch.tensor([y_hat[0][0], y_hat[1][2]])

tensor([0.1000, 0.5000])

def cross_entropy(y_hat, y):  # 一行即可实现
    return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

3.6.5 分类精度

分类精度即正确预测数占预测总数之比。因精度计算不可导，故直接优化精度很困难，但是精度依然是衡量预测性能的关键度量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)  # 获取每行最大值的下标，即预测结果
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y  # 将预测值转换为和 y 一样的数据类型再进行比较
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

accuracy(y_hat, y) / len(y)  # 尝试计算分类精度

0.5

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n  # 初始化一个长度为 n 的全 0 列表

    def add(self, *args):  # 未知个数参数作为元组传入
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]  # 打包为一个元组以方便循环相加，将结果组成一个新列表

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())  # 累加预测正确数及总数
    return metric[0] / metric[1]

evaluate_accuracy(net, test_iter)  # 由于我们使用的使随即权重初始化 net 模型，因此效果接近随机猜测，故精度接近 0.1

0.0159

3.6.6 训练

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])  # 用于对训练进度进行可视化
    for epoch in range(num_epochs):  # 进行 num_epochs 轮训练
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)  # 每轮访问一个训练集训练出一个模型
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)  # 每轮结束时使用测试集对模型进行评估
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    # 方便调试，用来抛 AssertionError
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

lr = 0.1  # 设置学习率为 0.1

def updater(batch_size):  # 使用 3.2.6 定义的 sgd 小批量随机梯度下降作为优化函数
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

num_epochs = 10  # 进行十轮训练
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

​

​

3.6.7 预测

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签（定义见第3章）"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)

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​

练习

（1）本节直接实现了基于数学定义 softmax 运算的 softmax 函数。这可能会导致什么问题？（提示：尝试计算 exp(50) 的大小。）

torch.exp(torch.tensor(100))  # 50 还不够，得试 100，直接报无穷大

tensor(inf)

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（2）本节中的 cross_entropy 函数是根据交叉熵损失函数定义实现的。它可能有什么问题？（提示：考虑对数的定义域）

对数的定义域是 $(0,+\infty)$，y_hat 预测值（即某行最大的值也接近0的话）接近0的话也可能会溢出。

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（3）请提出一个解决方案解决上述两个问题。

使用 log_softmax，不仅可以解决溢出问题，还能加快运算速度。

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（4）返回概率最大的分类标签总是最优解吗？例如，在医疗诊断的场景下可以这样做吗？

不总是最优解。毕竟小概率事件也可能发生，特别是在医疗诊断场景。

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（5）假设我们使用 softmax 回归来预测下一个单词，可选取的单词数过多可能会带来哪些问题？

概率会过度分散，各个单词概率差不多，预测没有意义。