高等数学

 

第一章 函数与极限

1 映射与函数

复合函数

x+1-1=x，函数左加右减，定义域向右移动1

定义域——自变量取值的范围，此题自变量为x+1中的x

反函数

初等函数

单调性

单调增：导数>0→单调增；单调增→导数≥0 (反例x³

单调不减：导数≥0→单调增；

x1<x2,→ f(x1)≤ f(x2).

①根的个数：单调增

②不等式证明：不等式是否带等号

奇偶性

奇函数的图形关于原点对称，且若(x)在x=0处有定义，则f(0)=0;

偶函数的图形关于y轴对称

（2）设f(x)可导，则:
a)f(x)是奇函数 →f'(x)是偶函数;（不能反推
b)f(x)是偶函数 →f'(x)是奇函数;（可反推

连续的奇函数其原函数都是偶函数
连续的偶函数其原函数之一是奇函数

第二条下限不能改为a，第一条可以（因为 连续的偶函数其原函数之一是奇函数

周期性

(2)可导的周期函数其导函数为周期函数;
(3)周期函数的原函数不一定是周期函数(如1+cos x).
若一个周期上的积分为0才满足

注意

即一个周期函数的周期内为+的面积=为-的面积（积分为0），原函数才能是周期函数

有界性

(2)f(x)在[a,b]上连续→f(x)在[a,b]上有界;（ 1/x在(0,1)连续无界 ）
(3)f(x)在(a,b)上连续,且f(a⁺)和f(b^-)存在→f(x)在(a,b)上有界;
(4)f'(x)在区间A(有限)上有界→f(x)在A上有界.
证明：|f(x)|=|f(x)+f(x0)-f(x0)|，用拉格朗日，=|f'(ξ)|x-x0||+|f(x0)|，f'(ξ)≤M ……

例题

2 数列的极限

lim a_n=A；

• 有无穷多项都收纳于A的邻域
• 数列极限与前有限项无关（只要保证后面单增减就能满足单调有界准则
• 奇偶项数列有极限且相等a→原数列有极限a

数列和用夹逼

单调有界准则：

数学归纳法：

• 已知x₁<a，（证明一下x₂<a来判断a是否是界）
• 设x_n<a，若能证明x_n+1<a，则证明有上界

3 函数的极限

注 在函数极限中x→∞是指|x|→+∞,而在数列极限中,n→∞是指n→+∞

定理

\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A

分段函数分界点、e^∞、arctan∞

(2)自变量趋于有限值时函数的极限

函数在x0无定义，但可以在该点有极限（前提是在x0区间邻域有定义，分母不能为0——不能震荡）

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}}≠1（不存在

极限性质

• 局部有界性：极限存在→去心邻域有界
• 保号性：
  • 极限>0→存在去心邻域使f(x)>0
  • 存在去心邻域使f(x)≥/＞0→极限≥0
• 保序性：在x0，[latex]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=A, \lim {x \rightarrow x_0} g(x)=B[/latex]
  • A>B→在x0去心邻域内，f(x)>g(x)
  • 在x0去心邻域内，f(x)≥/＞g(x)→A≥B

函数与极限值的关系

\lim f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x) \quad \text { 其中 } \lim \alpha(x)=0 \text {. }

 

4 无穷小与无穷大

无穷小

• 有限个无穷小的和仍是无穷小
• 有限个无穷小的积仍是无穷小
• 无穷小量与有界量的积仍是无穷小

无穷大

无穷大与无界变量的关系

无穷：n>N，后面的项都大

无界：n>N，后面有一项大的就行，如xsinx

无穷大与无穷小的关系

在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小；若无穷小,且 f(x)≠0趋向0，则其倒数是无穷大

5 极限运算法则---

有理运算法则求极限

存在±不存在=不存在； 不存在±不存在=不一定；乘除都为不一定

可换为收敛、极限

基本极限求极限

f(x)^g(x)注意f(x)>0，有意义；g(x)注意±∞的区别

1^∞=e；

等价无穷小代换求极限

x-sinx~arccsinx-x

设f(x)和 g(x)在 x=a 的某邻域内连续

满足\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =1,则\int_{a}^{x} f(t)dt等价于\int_{a}^{x} g(t)dt

相减关系下满足：两减项极限之比为非1常数可换等价无穷小

洛比塔法则求极限

泰勒公式求极限

f(x)=f(0)+f′
 (0)(x)+ 
2!
f 
′′
 (0)
​
 (x) 
2
 +⋯+ 
n!
f 
(n)
 (0)
​
 (x) 
n
 + 
(n+1)!
f 
(n+1)
 (θx)
​
 x 
n+1
 ;θ∈(0,1))

e^x；ln(1+x)；1/(1+x)；(1+x)^a；tanx；

夹逼准则求极限

n项和

定积分定义求极限

提1/n可爱因子

单调有界准则求极限

数学归纳法：

• 已知x₁<a，（证明一下x₂<a来判断a是否是界）
• 设x_n<a，若能证明x_n+1<a，则证明有上界

例题

• 根号相加减——有理化
• 加一减一凑，先提再凑
• 相似项相减——拉格朗日
• f(x)→0，g(x)→0；e^f(x)-e^g(x)~f(x)-g(x)
• ∞/∞
  • 洛必达法则
  • 分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大——抓大头
• ∞-∞
  • 通分
  • 根式有理化
  • 提无穷因子，再代换
  • 1/t换元

 

 

 

6 极限存在准则 两个重要极限

7 无穷小的比较

8 函数的连续性与间断点

• 第一类间断点
  • 可去间断点
  • 跳跃间断点
• 第二类间断点
  • 无穷间断点
  • 振荡间断点

9 连续函数的运算与初等函数的连续性

10 闭区间上连续函数的性质

 

第二章 导数与微分

可导⇒连续

连续⇒极限存在、可积

1 导数与微分

2 函数的求导法则

3 高阶导数

4 隐函数即由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

5 函数的微分

第三章 微分中值定理与导数的应用

1 微分中值定理

拉格朗日

如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

区间内存在一点极限=ab三角的斜率

f(b)-f(a)=(b-a)*一点的斜率

2 洛必达法则

3 泰勒公式

4 函数的单调性与曲线的凹凸性

5 函数的极值与最大值最小值

e^{x^{-2}}\arctan\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

6 函数图形的描绘

7 曲率

8 方程的近似解

第四章 不定积分

1 不定积分的概念与性质

2 换元积分法

3 分部积分法

4 有理函数的积分

（1）

 

（2）

 i:原式子的sin全换成-sin，若原式变为-R，则要提一个sin变为dcos。

（就是sinx成为影响原式子的奇函数，就要提一个sin）

e.g.对应ii、iii

5 积分表的使用

第五章 定积分

1 定积分的概念与性质

定积分定义

\int_{0}^{1} f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{\infty} f(x)

2 微积分的基本公式

3 定积分的换元法和分部积分法

4 反常积分

无穷限反常积分的比较判别法

无界函数反常积分的比较判别法

5 反常积分的审敛法 τ函数

变限积分

（内外层t不相互影响）

660 T9

第六章 定积分的应用

1 定积分的元素法

2 定积分在几何学上的应用

3 定积分在物理学上的应用

第七章 微分方程

1 微分方程的基本概念

最高阶有几阶就对应有几个独立的任意常数

含任意常数的不是特解

2 可分离变量的微分方程

换元

[latex]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =x^2+2xy+y^2+2x+2y+1[/latex] 通解

先进行变形 (x+y+1)²，然后换元u=x+y+1
du=dx+dy，换成[latex]\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} -1=u^2[/latex]

对调xy

[latex]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{y}{x+y^3}[/latex] 通解

[latex]x=\frac{y^3}{2}+Cy[/latex]

凑微分

xdy+ydx=d(xy) 2ydy=dy²

[latex]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} +\frac{xy^2}{1+x^2}=\frac{x}{2}[/latex]

改写成[latex]\frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{d} x} +\frac{2xy^2}{1+x^2}=x[/latex]，即 [latex]f'(x) +\frac{2x}{1+x^2}f(x)=x[/latex]

3 齐次方程

y'=f(x,y); y/x形式出现

令y=ux代入，y'=u'x+u

4 一阶线性微分方程

y' + p(x)y = q(x)

y = e^{-\int p(x)\mathrm{d} x}[\int Q (x)e^{\int p(x)\mathrm{d} x}\mathrm{d} x+C]

伯努利方程

y' + p(x)y = q(x)yⁿ
令 z=y^1-n 进行替换（将右边yⁿ “凑成”y）

全微分方程

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
为全微分方程的充要条件是[latex]\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}[/latex]
通解 u(x, y)=C

求u(x, y)可以用路径无关，区域D，偏积分法求解

简单变量替换

[latex]x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} -2x+\sin (2x-y)=0[/latex]

令u=2x-y，代入后化为

[latex]\frac{\mathrm{d} u}{\sin u} =\frac{1}{x}\mathrm{d} x[/latex]

 

5 可降阶的高阶微分方程

一般式y''=f(x, y, y')

• y''=f(x)
  • 做两次积分即可
• y''=f(x, y')
  • p=y'，y'' = [latex]\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}[/latex]
• y''=f(y, y')
  • p=y'，y'' = p[latex]\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}[/latex]

 

6 高阶线性微分方程

齐次线性方程通解

齐次通解=C₁齐次解1+C₂齐次解2 （齐次解1和齐次解2线性无关——作比不等于常数）

齐次解=非齐次解1-非齐次解2

非齐次线性方程通解

非齐次通解=齐次通解+非齐次特解

y₁为f₁(x)特解，y₂为f₂(x)特解；
y₁+y₂为f₁(x)+f₂(x)的特解

 

7 常系数齐次线性微分方程

8 常系数非齐次线性微分方程

非齐次通解=齐次通解+特解y*

• [latex]f(x)=P_m (x)e^{\lambda x}[/latex]
  • [latex]y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}[/latex]，k=λ与特征根r相同的个数（0、1、2）
• [latex]f(x)=e^{\alpha x} [P_l(x)cos\beta x + Q_n(x)sin\beta x][/latex]
  • [latex]y^*=x^ke^{\alpha x} [R_m^{(1)} (x)cos\beta x + R_m^{(2)} (x)sin\beta x][/latex]，m=max(l, n)，k=λ与特征根 α±βi 相同的个数（0、1）
• 随后代入原方程求特解

欧拉方程

[latex]x^ny^ { (n)}+a_1x^ {n-1}y^ { (n-1)}+\dots+a_ {n-1}xy^ {'}+a_ny=f (x)[/latex].

[latex]x^2\frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2} +a_1x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} +a_2y=f(x)[/latex].

1. x=e^t
2. [latex]D(D-1)y+a_1Dy+a_2y=f(x)[/latex]
   • [latex]D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[/latex]
   • [latex]D^2=\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}[/latex]
   • [latex]Dy=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}[/latex]
3. r(r-1)+a₁r+a₂=0

第八章 向量代数与空间解析几何

1 向量及其线性运算

2 数量积 向量积 混合积

3 平面及其方程

4 空间直线及其方程

5 曲面及其方程

6 空间曲线及其方程

第九章 多元函数微分法及其应用

1 多元函数的基本概念

多元函数的极限——重极限

点p以任意方式趋向（x0,y0）的极限都存在且等于A，则重极限存在

多元函数无罗必塔法则

简单求解重极限：取绝对值+夹逼

证明重极限不存在：过该点的不同直线趋向它的极限不同，重极限不存在

多元函数的连续性

• 连续函数的和差积商、复合函数仍为连续函数
• 有界区域D连续有最大最小值
• 介值定理，有界区域D连续有最大最小值之间的任意值

2 偏导数

z=f(x,y)，

\frac{\partial z}{\partial x}+ \frac{\partial z}{\partial y} =dz没dxdy=Z_{x}^{'} +Z_{y}^{'} 

3 全微分

（3）①偏导存在 ②重极限是否为0

4 多元复合函数的求导法则

5 隐函数的求导公式

6 多元函数微分学的几何应用

7 方向导数与梯度

f(x,y)在A(1,2)点沿B=(3,4)的方向导数[latex]\frac{\partial f}{\partial B} (1,2)[/latex]

1. 对f的x，y求偏导
2. 将B单位化

\frac{\partial f}{\partial B} (1,2)=\frac{3}{5} {f}' _x|_{(1,2)}+\frac{4}{5} {f}' _y|_{(1,2)}

8 多元函数的极值及其求法

必要条件：[latex]f'_x(x_0,y_0)=0, f'_y(x_0,y_0)=0[/latex]

反之，称为驻点

充分条件：[latex]A=f''_{xx} (x_0,y_0), B=f''_{xy}(x_0,y_0), C=f''_{yy}(x_0,y_0)[/latex]

• AC-B²>0，有极值
  • A>0，极小值
  • A<0，极大值
• AC-B²<0，无极值
• AC-B²=0，不一定

9 二元函数的泰勒公式

10 最小二乘法

第十章 重积分

1 二重积分的概念与性质

2 二重积分的计算法

3 三重积分

4 重积分的应用

5 含参变量的积分

第十一章 曲线积分与曲面积分

1 对弧长的曲线积分

2 对坐标的曲线积分

3 格林公式及其应用

4 对面积的曲面积分

5 对坐标的曲面积分

6 高斯公式 通量与散度

7 斯托克斯公式 环流量与旋度

第十二章 无穷级数

1 常数项技术的概念和性质

2 常数项级数的审敛法

3 幂级数

4 函数展开成幂级数

5 函数的幂级数展开式的应用

6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

7 傅里叶级数

8 一般周期函数的傅里叶级数