数论函数&狄利克雷卷积
简介
狄利克雷卷积是数论函数的重要运算之一，它可以方便我们来描述数论函数之间的关系。
定义
我们这样定义狄利克雷卷积：
如果函数 \(h,f,g\) 满足：
那么我们称 \(h\) 是 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷积，记作：
性质
狄利克雷卷积满足如下性质：
- 交换律： \(f*g=g*f\)
- 结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)
- 分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)
- 若 \(h=f*g\) ，且 \(f,g\) 都是积性函数，那么 \(h\) 也是积性函数。
常见数论函数及其性质
数论函数
\(1.\) 常函数：\(I(n)=1\)
\(2.\) 恒等函数：\(id(n)=n\)
\(3.\) 单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\) 又叫做单位元
（以上都是完全积性函数）
\(4.\) 欧拉函数：\(\varphi(n)\) 与 \(n\) 互质的正整数个数
\(5.\) 除数函数：\(\sigma_x(n)\) \(n\) 的 \(x\) 次幂因子和，特殊情况是 \(\sigma_0(n)\) 和 \(\sigma_1(n)\) ，分别代表因数个数和因数和，常写作 \(d(n)\) 和 \(\sigma(n)\)。
\(6.\) 莫比乌斯函数：\(\mu(n)\) 请见本文定义
（以上都是积性函数）
\(7.\) 素因数个数函数（prime factor numbers function）\(\Omega(n)\) ：表示 \(n\) 的素因子个数（也有写作 \(\omega\) 的？）
常见性质
\(性质1(f*\varepsilon=f)\)
\(\large f*\varepsilon=f\) （一个数论函数卷单位函数都是其本身）
证明：写出来是 \(\large \sum\limits_{d\mid n}f(d)\varepsilon(\dfrac nd)\)，只有当 \(\large d=n\) 时产生贡献，这一项是 \(f(n)\varepsilon(1)=f(n)\)。
\(性质2(\mu * I=\varepsilon)\)
\(\large \mu * I=\varepsilon\) （\(\large \sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)）
\(n=1\) 显然成立，剩下的显然只有素因子的指数都为 \(1\) 才有贡献，而假设有 \(k\) 个素因子，那么有 \(r\) 个素因子作为这个数的情况有 \(\dbinom kr\) ，于是柿子变成了 \(\sum\limits_{i=0}^k(-1)^i\dbinom ki\) 这显然是二项式交错和的形式，有 \(\sum\limits_{i=0}^k(-1)^i\dbinom ki=0\) ，于是得证。
\(性质3(\varphi*I=id)\)
\(\large \varphi*I=id\) （\(\large \sum\limits_{d|n} \varphi(d)=n\)）
欧拉反演的形式，可以直接证明，也可以使用莫比乌斯函数来证明
\(性质4(\mu*id=\varphi)\)
\(\large \mu*id=\varphi\) （\(\large \varphi(n)=\sum\limits_{d|n} \mu(d)\dfrac nd\)）
\(\mu * id=\mu*\varphi * I=\varepsilon*\varphi=\varphi\)
\(性质5(d=I*I)\)
\(\large d=I*I\)
直接拆开右边，得证
\(性质6(\sigma_1=I*id)\)
\(\large \sigma_1=I*id\)
直接拆开，得证
\(性质7(\mu * d=I)\)
\(\large \mu *d=I\)
\(\mu*d=\mu*I*I=(\mu*I)*I=\varepsilon*I=I\)
分类总结
一般数论函数：\(f*\varepsilon=f\)
\(1.\) 常函数：\(I(n)=1\) \(\mu * I=\varepsilon,\ \ \ \varphi*I=id,\ \ \ I*I=d,\ \ \ \mu * d=I\)
\(2.\) 恒等函数：\(id(n)=n\) \(\varphi*I=id,\ \ \ \mu*id=\varphi\)
\(3.\) 单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\) \(\mu * I=\varepsilon,\ \ \ f*\varepsilon=f\)
\(4.\) 欧拉函数：\(\varphi(n)\) \(\varphi*I=id,\ \ \ \mu*id=\varphi\)
\(5.\) 除数函数：\(\sigma_x(n)\) \(d=I*I,\ \ \ \sigma_0=I*id,\ \ \ \mu * d=I\)
\(6.\) 莫比乌斯函数：\(\mu(n)\) \(\mu * I=\varepsilon,\ \ \ \mu*id=\varphi, \ \ \ \mu * d=I\)
\(7.\) 素因数个数函数： \(\Omega(n)\)
积性函数的性质
非常抱歉，这部分鸽了。
先贴还没做的笔记留着。
